【題目】已知函數(shù), ,其中是自然常數(shù).
(1)判斷函數(shù)在內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù),并說明理由;
(2) , ,使得不等式成立,試求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2).
【解析】試題分析:(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo), ,得到函數(shù)在上單調(diào)遞增,根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn);(2)不等式等價(jià)于,即,對(duì)兩邊的函數(shù)分別求導(dǎo)研究單調(diào)性,求得最值得到取得最大值, 取得最小值,故只需要,解出即可.
解析:
(1)函數(shù)在上的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1,理由如下:
因?yàn)?/span>,所以,
因?yàn)?/span>,所以,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.
因?yàn)?/span>, ,根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理得函數(shù)在上存在1個(gè)零點(diǎn).
(2)因?yàn)椴坏仁?/span>等價(jià)于,
所以, ,使得不等式成立,等價(jià)于
,即,
當(dāng)時(shí), ,故在區(qū)間上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí), 取得最小值,又,
當(dāng)時(shí), , , ,所以,故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.
因此,當(dāng)時(shí), 取得最大值,所以,所以,
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線: 的焦點(diǎn)為,圓: ,過作垂直于軸的直線交拋物線于、兩點(diǎn),且的面積為.
(1)求拋物線的方程和圓的方程;
(2)若直線、均過坐標(biāo)原點(diǎn),且互相垂直, 交拋物線于,交圓于, 交拋物線于,交圓于,求與的面積比的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間;
(2)若的圖象與軸交于兩點(diǎn),起,求的取值范圍;
(3)令, ,證明: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]
在平面直角坐標(biāo)系中,已知直線: (為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)的極坐標(biāo)為,直線與曲線的交點(diǎn)為, ,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(1)若,當(dāng)時(shí),試比較與2的大小;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),求的取值范圍,并證明:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在以為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,曲線是圓心為,半徑為1的圓.
(1)求曲線, 的直角坐標(biāo)方程;
(2)設(shè)為曲線上的點(diǎn), 為曲線上的點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知四棱錐,底面為菱形,,為上的點(diǎn),過的平面分別交,于點(diǎn),,且平面.
(1)證明:;
(2)當(dāng)為的中點(diǎn),,與平面所成的角為,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四面體S﹣ABC中,SA⊥平面ABC,∠BAC=120°,SA=AC=2,AB=1,則該四面體的外接球的表面積為
A. 11π B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】[2018·石家莊一檢]已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,且,求證:.
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