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9.已知集合A是同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)f(x)的全體.
①函數(shù)f(x)在其定義域上是單調(diào)函數(shù);
②f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[a,b],使得f(x)在[a,b]上的值域?yàn)閇a22].
(1)判斷f(x)=x3是否屬于M,若是,求出所有滿足②的區(qū)間[a,b],若不是,說(shuō)明理由;
(2)若是否存在實(shí)數(shù)t,使得h(x)=x1+tM,若存在,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

分析 (1)可以看出g(x)為增函數(shù),滿足條件①,而方程x3=x2有三個(gè)不同的解,從而滿足條件②,從而說(shuō)明g(x)屬于M,且可寫(xiě)出所有滿足②的區(qū)間[a,b];
(2)利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)h(x)在定義域[1,+∞)上是增函數(shù).若h(x)∈M,則存在a,b∈[1,+∞),且a<b,使得h(a)=a2,h(b)=2,即a-2a1-2t=0,且b-2b1-2t=0.令x1=y(x≥1),則y≥0,于是關(guān)于y的方程y2-2y+1-2t=0在[0,+∞)上有2個(gè)不等實(shí)根,利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得t的范圍.

解答 解:(1)g(x)=x3在R上為增函數(shù),滿足性質(zhì)①;
解x3=x2得,x=0,或x=±22
∴滿足性質(zhì)②;
∴g(x)屬于M,且滿足②的區(qū)間[a,b]為[-22,0],[0,22],或[-22,22];
(2)函數(shù)h(x)的定義域是[1,+∞),
當(dāng)x>1時(shí),h′(x)=12x1>0,故函數(shù)h(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
若h(x)∈M,則存在a,b∈[1,+∞),且a<b,
使得h(a)=a2,h(b)=2,即a-2a1-2t=0,且b-2b1-2t=0,
x1=y(x≥1),則y≥0,
于是關(guān)于y的方程y2-2y+1-2t=0在[0,+∞)上有兩個(gè)不等的實(shí)根,
記u(y)=y2-2y+1-2t,
{0u00,∴t∈(0,12].

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)單調(diào)性的定義,函數(shù)值域的定義,f(x)滿足性質(zhì)②便說(shuō)明方程f(x)=x2至少有兩個(gè)不同解,以及一元二次方程實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)和判別式△的關(guān)系.

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