Question

【題目】已知圓C的圓心在x軸正半軸上，半徑為5，且與直線相切．

(1)求圓C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線與圓C交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；

(3)設(shè)P是直線上的點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為求證：經(jīng)過(guò) 三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1) (2) 或；(3) 見證明

【解析】

（1）設(shè)圓心，由直線和圓相切可得：，利用點(diǎn)到直線距離公式即可求得，問題得解。

（2）若直線的斜率不存在，即：，檢驗(yàn)得：成立，若直線的斜率存在，可設(shè)直線：，由圓的弦長(zhǎng)計(jì)算公式可得：，即可求得，問題得解。

（3）設(shè)，由題可得：經(jīng)過(guò)，，的三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓，即可求得該圓的方程為：，列方程即可求得定點(diǎn)的坐標(biāo)為，，問題得解。

（1）解：設(shè)圓心，圓心到直線的距離為

則由直線和圓相切可得：，

可得，解得（負(fù)值舍去），

即圓的方程為；

（2）解：若直線的斜率不存在，即：，

代入圓的方程可得，，即有，成立；

若直線的斜率存在，可設(shè)直線：，

即為，

圓到直線的距離為，

由，即有，

解得，即，解得，則直線的方程為，

所以的方程為或；

（3）證明：由于是直線上的點(diǎn)，

設(shè)，

由切線的性質(zhì)可得，

經(jīng)過(guò)，，的三點(diǎn)的圓是以為直徑的圓，

則方程為，

整理可得，

令，且.

解得或.

則有經(jīng)過(guò)，，三點(diǎn)的圓必過(guò)定點(diǎn)，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為，.