(2013•肇慶一模)若f(x)=
x2-a(ln-1)(0<x<e)
x2+a(lnx-1)(x≥e
其中a∈R
(1)當(dāng)a=-2時(shí),求函數(shù)y(x)在區(qū)間[e,e2]上的最大值;
(2)當(dāng)a>0,時(shí),若x∈[1,+∞),f(x)≥
3
2
a
恒成立,求a的取值范圍.
分析:(1)當(dāng)a=-2,x∈[e,e2]時(shí),f(x)=x2-2lnx+2,求其導(dǎo)數(shù)可判函數(shù)在在[e,e2]上單調(diào)遞增,進(jìn)而可得其最大值;
(2)分類討論可得函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上的最小值為f(x)min=
1+a,0<a≤2
3a
2
-
a
2
ln
a
2
,2<a≤2e2
e2,a>2e2
,分段令其
3a
2
,解之可得a的取值范圍.
解答:解:(1)當(dāng)a=-2,x∈[e,e2]時(shí),f(x)=x2-2lnx+2,(1分)
f′(x)=2x-
2
x
,∴當(dāng)x∈[e,e2]時(shí),f'(x)>0,(2分)
∴函數(shù)f(x)=x2-2lnx+2在[e,e2]上單調(diào)遞增,(3分)
f(x)max=f(e2)=(e2)2-2lne2+2=e4-2(4分)
(2)①當(dāng)x≥e時(shí),f(x)=x2+alnx-a,f′(x)=2x+
a
x

∵a>0,∴f'(x)>0,∴f(x)在[e,+∞)上單調(diào)遞增,(5分)
故當(dāng)x=e時(shí),f(x)min=f(e)=e2;                            (6分)
②當(dāng)1≤x≤e時(shí),f(x)=x2-alnx+a,f′(x)=2x-
a
x
=
2
x
(x+
a
2
)(x-
a
2
),(7分)
(i)當(dāng)
a
2
≤1,即0<a≤2時(shí),f(x)在區(qū)間[1,e)上為增函數(shù),
當(dāng)x=1時(shí),f(x)min=f(1)=1+a,且此時(shí)f(1)<f(e)=e2;      (8分)
(ii)當(dāng)1<
a
2
≤e
,即2<a≤2e2時(shí),f(x)在區(qū)間(1,
a
2
]
上為減函數(shù),在區(qū)間(
a
2
,e]
上為增函數(shù),(9分)
故當(dāng)x=
a
2
時(shí),f(x)min=f(
a
2
)=
3a
2
-
a
2
ln
a
2
,且此時(shí)f(
a
2
)<f(e)=e2;(10分)
(iii)當(dāng)
a
2
>e
,即a>2e2時(shí),f(x)=x2-alnx+a在區(qū)間[1,e]上為減函數(shù),
故當(dāng)x=e時(shí),f(x)min=f(e)=e2.(11分)
綜上所述,函數(shù)y=f(x)在[1,+∞)上的最小值為f(x)min=
1+a,0<a≤2
3a
2
-
a
2
ln
a
2
,2<a≤2e2
e2,a>2e2
(12分)
0<a≤2
1+a≥
3
2
a
得0<a≤2;由
2<a≤2e2
3a
2
-
a
2
ln
a
2
3a
2
得無(wú)解;由
a>2e2
e2
3a
2
得無(wú)解;  (13分)
故所求a的取值范圍是(0,2].                                     (14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間的最值,涉及分類討論的思想,屬難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•肇慶一模)已知等差數(shù)列{an},滿足a3+a9=8,則此數(shù)列的前11項(xiàng)的和S11=( 。

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(2013•肇慶一模)某市電視臺(tái)為了宣傳舉辦問(wèn)答活動(dòng),隨機(jī)對(duì)該市15~65歲的人群抽樣了x•46%=230人,回答問(wèn)題統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖表所示.
組號(hào) 分組 回答正確
的人數(shù)
回答正確的人數(shù)
占本組的概率
第1組 [15,25) 5 0.5
第2組 [25,35) a 0.9
第3組 [35,45) 27 x
第4組 [45,55) B 0.36
第5組 [55,65) 3 y
(Ⅰ)分別求出a,b,x,y的值;
(Ⅱ)從第2,3,4組回答正確的人中用分層抽樣的方法抽取6人,則第2,3,4組每組應(yīng)各抽取多少人?
(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,電視臺(tái)決定在所抽取的6人中隨機(jī)抽取2人頒發(fā)幸運(yùn)獎(jiǎng),求:所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)的概率.

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(2013•肇慶一模)已知函數(shù)f(x)=Asin(4x+φ)(A>0,0<φ<π)在x=
π
16
時(shí)取得最大值2.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)求f(x)的解析式;
(3)若α∈[-
π
2
,0]
,f(
1
4
α+
π
16
)=
6
5
,求sin(2α-
π
4
)
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•肇慶一模)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題) 
已知直線l1=
x=1+3t
y=2-4t
(t為參數(shù))與直線l2:2x-4y=5相交于點(diǎn)B,又點(diǎn)A(1,2),則|AB|=
5
2
5
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2013•肇慶一模)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且a1=1,nan+1=2Sn(n∈N*)
(1)求a2,a3,a4的值;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an;
(3)設(shè)數(shù)列{bn}滿足b1=
1
2
,bn+1=
1
ak
b
2
n
+bn
,求證:當(dāng)n≤k時(shí)有bn<1.

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