Question

已知△ABC內(nèi)接于單位圓，且（1+tanA）（1+tanB）=2，
（1）求角C
（2）求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）變形已知條件可得tanA+tanB=1-tanA•tanB，代入可得tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，可得C值；（2）由正弦定理可得c，由余弦定理和基本不等式可得ab得取值范圍，進(jìn)而可得面積的最值．

解答： 解：（1）∵（1+tanA）（1+tanB）=2
∴tanA+tanB=1-tanA•tanB，
∴tanC=-tan（A+B）=-

tanA+tanB

1-tanAtanB

=-1，
∴C=

3π

4

（2）∵△ABC得外接圓為單位圓，
∴其半徑R=1
由正弦定理可得c=2RsinC=

2

，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
代入數(shù)據(jù)可得2=a²+b²+

2

ab
≥2ab+

2

ab=（2+

2

）ab，
∴ab≤

2

2+ 2

，
∴△ABC得面積S=

1

2

absinC≤

1

2+ 2

•

2

2

=

2 -1

2

，
∴△ABC面積的最大值為：

2 -1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查兩角和與差得正切，涉及正余弦定理和三角形的面積公式，屬中檔題．