Question

20．已知不等式2x+4$\sqrt{xy}$≤a（x+y）對(duì)任意正數(shù)x，y都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 由題意化簡(jiǎn)可得a≥$\frac{2x+4\sqrt{xy}}{x+y}$=$\frac{2+4\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，令t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，t＞0；從而可得$\frac{2+4\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$=2•$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$，再令1+2t=m，則2•$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$=2•$\frac{m}{1+（\frac{m-1}{2}）^{2}}$=2•$\frac{4}{m+\frac{5}{m}-2}$，從而利用基本不等式求得．

解答 解：∵x＞0，y＞0，2x+4$\sqrt{xy}$≤a（x+y），
∴a≥$\frac{2x+4\sqrt{xy}}{x+y}$=$\frac{2+4\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$，
令t=$\sqrt{\frac{y}{x}}$，t＞0；
則$\frac{2+4\sqrt{\frac{y}{x}}}{1+\frac{y}{x}}$=$\frac{2+4t}{1+{t}^{2}}$=2•$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$，
令1+2t=m，則t=$\frac{m-1}{2}$，m＞1；
2•$\frac{1+2t}{1+{t}^{2}}$=2•$\frac{m}{1+（\frac{m-1}{2}）^{2}}$=2•$\frac{4}{m+\frac{5}{m}-2}$，
∵m+$\frac{5}{m}$≥2$\sqrt{5}$，（當(dāng)且僅當(dāng)m=$\sqrt{5}$時(shí)，等號(hào)成立）；
故（2•$\frac{4}{m+\frac{5}{m}-2}$）_max=2•$\frac{4}{2\sqrt{5}-2}$=$\sqrt{5}$+1，
故a≥$\sqrt{5}$+1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了恒成立問(wèn)題的應(yīng)用及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了換元法的應(yīng)用．