如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5AA1=4，點D是AB的中點．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）求多面體ADC-A1B1C1的體積；
（3）求二面角D-CB1-B的平面角的正切值．
（1）證明：直三棱柱ABC-A1B1C1，底面三邊長AC=3，BC=4，AB=5，
∵AC2+BC2=AB2
∴AC⊥BC，
又AC⊥C1C，C1C∩BC=C
∴AC⊥平面BCC1；
∴AC⊥BC1
（2）VADC-A1B1C1=VABC-A1B1C1-VB1-BCD=
1
2
×3×4×4-
1
3
×4×
1
2
×
1
2
×3×4=20
（3）由題意可得：以CA、CB、CC1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系，
∵AC=3，BC=4，AA1=4，
∴C（0，0，0），D(
3
2
，2，0)，B1（0，4，4），
∴
CD
=(
3
2
，2，0)，
CB1
=(0，4，4)
平面CBB1C1的法向量
n1
=(1，0，0)，
設(shè)平面DB1C的法向量
n2
=(x0，y0，-1)，
則
n1
，
n2
的夾角的補角的大小就是二面角D-CB1-B的大小
則由
n2
•
CD
=0
n2
•
CB1
=0
解得
n2
=(-
4
3
，1，-1)
所以cos＜
n1
，
n2
＞=
n1
•
n2
|
n1
|•|
n2
|
=-
4
34
，
則tan＜
n1
，
n2
＞=-
3
2
4

∴二面角D-B1C-B的正切值為
3
2
4
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=AA1=1，則直線BD1與平面BCC1B1所成角的正弦值為（　�。�
A．
3
3
B．
2
2
C．
6
3
D．
1
2

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖1，在等腰△ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點，CD=BE=
2
，O為BC的中點．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱錐A′-BCDE．若A′O⊥平面BCDE，則A′D與平面A′BC所成角的正弦值等于（　�。�
A．
2
3
B．
3
3
C．
2
2
D．
2
4

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，∠ACB=90°，點D為AB的中點．
1）求證：BC1∥面A1DC；
2）求棱AA1的長，使得A1C與面ABC1所成角的正弦值等于
2
15
30
．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=BC，且∠BAC=
π
2
，則PA與底面ABC所成角為______．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，棱柱ABC-AwBwCw中，AwA，AwB，AwC都與平面ABC所成的角相等，∠CAB=90°，AC=AB=AwB=a，D為BC上的點，且AwC∥平面ADBw．求：
（Ⅰ）AwC與平面ADBw的距離；
（Ⅱ）二面角Aw-AB-C的大��；
（Ⅲ）ABw與平面ABC所成的角的大小．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知平面四邊形ABCD的對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，且BA=BC=4，DA=DC=2
3
，∠ABC=60°．現(xiàn)沿對角線AC將三角形DAC翻折，使得平面DAC⊥平面BAC．翻折后：
（Ⅰ）證明：AC⊥BD；
（Ⅱ）記M，N分別為AB，DB的中點．①求二面角N-CM-B大小的余弦值；②求點B到平面CMN的距離．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC與BD交于點O，且∠ABC=120°，M為BC的中點．將此菱形沿對角線BD折成二面角A-BD-C．
（ I）求證：面AOC⊥面BCD；
（ II）若二面角A-BD-C為60°時，求直線AM與面AOC所成角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

如果正三棱錐的側(cè)面均為直角三角形，側(cè)面與底面所成的角為α，則α的值是______．

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