Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=（-x²+ax）e^-x（x∈R，e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（I）當(dāng)a=-2時，求函數(shù)，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，求a的取值范圍；
（III）函數(shù)f（x）是否為R上的單調(diào)函數(shù)，若是，求出a的取值范圍：若不是，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）當(dāng)a=-2時，f（x）=（-x²-2x）e^-x；f′（x）=（x²-2）e^-x
令f′（x）＜0，得x²-2＜0，∴-＜x＜
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（-，）；
（Ⅱ）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，若f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，即當(dāng)-1＜x＜1時，f′（x）≤0，
即x²-（a+2）x+a≤0對x∈（-1，1）恒成立；
令g（x）=x²-（a+2）x+a，則
∴，解得a≤-；
（III）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，其正負取決于二次式x²-（a+2）x+a，該二次式值（首項為正）不可能永為負，也就是說原函數(shù)不可能是整個實數(shù)域上的單調(diào)遞減函數(shù)；
若要成為單調(diào)遞增函數(shù)，則x²-（a+2）x+a≥0對x∈R恒成立
∵△=（a+2）²-4a=a²+4＞0
∴函數(shù)不可能在R上單調(diào)遞增
綜上可知，函數(shù)f（x）不可能為R上的單調(diào)函數(shù)．
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，令f′（x）＜0，可得f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）f′（x）=[x²-（a+2）x+a]e^-x，若f（x）在（-1，1）內(nèi)單調(diào)遞減，即當(dāng)-1＜x＜1時，f′（x）≤0，即x²-（a+2）x+a≤0對x∈（-1，1）恒成立，變換主元，可得不等式組，從而可求a的值；
（III）判斷函數(shù)不可能是整個實數(shù)域上的單調(diào)遞減函數(shù)；要成為單調(diào)遞增函數(shù)，則x²-（a+2）x+a≥0對x∈R恒成立，判斷其不可能，即可得到結(jié)論．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．