精英家教網(wǎng)已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為1的正方形，側棱PC長為2，且PC⊥底面ABCD，
E是側棱PC上的動點．
（Ⅰ） 求點C到平面PDB的距離；
（Ⅱ） 若點E為PC的中點，求平面ADE與平面ABE所成的銳二面角的大�。�
分析：（I）點到平面的距離可以根據(jù)等體積法交線計算，即VP-BCD=VC-BPD，在換頂點求體積時應當換一個高與底面積都易求的頂點．
（II）建立空間直角坐標系，分別求出兩個平面的法向量再結合向量的有關運算計算出二面角的平面角的余弦值，進而求出角度．
解答：精英家教網(wǎng)解：（I）四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，
側棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．
設點C到平面PDB的距離為d，
∵VP-BCD=VC-BPD，
∴
1
3
S△BCD•PC=
1
3
S△BPD•dPD=PB=
5
，BD=
2
，
∴S△BPD=
3
2
，S△BCD=
1
2

∴d=
2
3
．
（II）以點C為坐標原點，CD所在的直線為x軸建立空間直角坐標系如圖示：
則D（1，0，0），A（1，1，0），B（0，1，0），E（0，0，1），
從而
DE
=(-1，0，1)，
DA
=(0，1，0)，
BA
=(1，0，0)，
BE
=(0，-1，1)
設平面ADE和平面ABE的法向量分別為
m
=(a，b，c)，
n
=(a′，b′，c′)
由法向量的性質可得：-a+c=0，b=0，a'=0，-b'+c'=0
令c=1，c'=-1，則a=1，b'=-1，
∴
m
=(1，0，1)，
n
=(0，-1，-1)
設二面角D-AE-B的平面角為θ，則cosθ=
m
•
n
|m
|•|
n
|
=-
1
2

∴θ=
π
3
．
點評：本題主要考查點到平面的距離與二面角的求法，解決此類問題的關鍵是熟悉幾何體的結構特征，進而便于得到點、線、面的位置關系，也利用距離坐標系求解二面角．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省濟寧一中高三（上）期末數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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