Question

19．設(shè)圓臺(tái)的高為3，在軸截面中母線AA₁與底面圓直徑AB的夾角為60°，軸截面中的一條對(duì)角線垂直于腰，求圓臺(tái)的體積．?

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設(shè)上、下底面半徑、母線長(zhǎng)分別為r、R、l，求解直角三角形分別求出圓臺(tái)的上下底面半徑，代入圓臺(tái)體積公式得答案．

解答 解：作軸截面A₁ABB₁，設(shè)上、下底面半徑、母線長(zhǎng)分別為r、R、l．?
作A₁D⊥AB于D，則A₁D=3，∠A₁AB=60°．?
又∵∠BA₁A=90°，?
∴∠BA₁D=60°．?
∴AD=A₁D•cot60°．?
∴R-r=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．?
BD=A₁D•tan 60°，?
∴R+r=3×$\sqrt{3}$=$3\sqrt{3}$．?
解得：R=2$\sqrt{3}$，r=$\sqrt{3}$．?
而h=3，?
∴V_圓臺(tái)=πh（R²+Rr+r²）=$\frac{1}{3}$π×3×[（2$\sqrt{3}$）²+2$\sqrt{3}$×$\sqrt{3}$+（$\sqrt{3}$）²]=21π．?
∴圓臺(tái)的體積為21π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓臺(tái)體積的求法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．