Question

某制冷設備廠設計生產(chǎn)一種長方形薄板，如圖所示，長方形ABCD（AB＞AD）的周長為4米，沿AC折疊使B到B′位置，AB′交DC于P．研究發(fā)現(xiàn)當ADP的面積最大時最節(jié)能，則最節(jié)能時長方形ABCD的面積為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：不等式的解法及應用

分析：設AB=x，DP=y，BC=2-x，PC=x-y．利用x＞2-x，可得x的取值范圍．利用△ADP≌△CB′P，可得PA=PC=x-y．利用勾股定理可得PA²=AD²+DP²，得到y(tǒng)=2（1-

1

x

），1＜x＜2．記△ADP的面積為S₁，利用基本不等式可得S₁=（1-

1

x

）（2-x）=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，當且僅當x=

2

∈（1，2）時，S₁取得最大值，進而得到長方形ABCD的面積S₂=x（2-x）=

2

（2-

2

）=2

2

-2．

解答： 解：設AB=x，DP=y，BC=2-x，PC=x-y．
∵x＞2-x，∴1＜x＜2，
∵△ADP≌△CB′P，∴PA=PC=x-y．
由PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（2-x）²+y²，
∴y=2（1-

1

x

），1＜x＜2，
記△ADP的面積為S₁，
則S₁=（1-

1

x

）（2-x）=3-（x+

2

x

）≤3-2

2

，
當且僅當x=

2

∈（1，2）時，S₁取得最大值，
此時長方形ABCD的面積S₂=x（2-x）=

2

（2-

2

）=2

2

-2．
故答案為：2

2

-2．

點評：本題綜合考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．