Question

6．當a為任意實數時，直線x（a+2）-y-a+1=0恒過定點C，則分別求出過點C的且滿足下列條件的直線方程
（1）與已知直線x-2y+3=0平行；
（2）與x，y軸的正半軸交于A，B兩點，且△AOB面積最小（O為坐標原點）．

Answer 1

分析 （1）直線可化為（x-1）a+（2x-y+1）=0，得到關于x，y的方程組，解出即可；
（2）設直線l方程為截距式：$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），將點C坐標代入并利用基本不等式，可得ab≥8，當且僅當a=2，b=4時等號成立．由此即可算出△OAB面積的最小值及相應的直線l的方程．

解答 解：（1）：當a為任意實數時，直線（a+2）x-y-a+1=0恒過定點C，
則直線可化為（x-1）a+（2x-y+1）=0，
對于a為任意實數時，
此式恒成立有 $\left\{\begin{array}{l}{x-1=0}\\{2x-y+1=0}\end{array}\right.$，得 $\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=3}\end{array}\right.$，
故定點C坐標是（1，3）；
設與已知直線x-2y+3=0平行的直線方程是：x-2y+c=0，
將C（1，3）代入x-2y+c=0，得：c=5，
故直線方程是：x-2y+5=0；
（2）設直線l的方程為$\frac{x}{a}$+$\frac{y}$=1（a＞0，b＞0），
∵直線過C（1，3），∴$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$=1
∵1=$\frac{1}{a}$+$\frac{3}$≥2$\sqrt{\frac{3}{ab}}$=$\sqrt{\frac{12}{ab}}$，
∴ab≥12，當且僅當a=2，b=6時等號成立
此時S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab≥6，即面積的最小值為6，
所求直線l的方程是$\frac{x}{2}$+$\frac{y}{6}$=1，
即3x+y-6=0．

點評 本題給出直線經過定點，求使直線被坐標軸截得三角形面積最小時直線的方程．著重考查了直線的方程、基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．