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6.當a為任意實數(shù)時,直線x(a+2)-y-a+1=0恒過定點C,則分別求出過點C的且滿足下列條件的直線方程
(1)與已知直線x-2y+3=0平行;
(2)與x,y軸的正半軸交于A,B兩點,且△AOB面積最�。∣為坐標原點).

分析 (1)直線可化為(x-1)a+(2x-y+1)=0,得到關(guān)于x,y的方程組,解出即可;
(2)設(shè)直線l方程為截距式:xa+y=1(a>0,b>0),將點C坐標代入并利用基本不等式,可得ab≥8,當且僅當a=2,b=4時等號成立.由此即可算出△OAB面積的最小值及相應(yīng)的直線l的方程.

解答 解:(1):當a為任意實數(shù)時,直線(a+2)x-y-a+1=0恒過定點C,
則直線可化為(x-1)a+(2x-y+1)=0,
對于a為任意實數(shù)時,
此式恒成立有 {x1=02xy+1=0,得 {x=1y=3,
故定點C坐標是(1,3);
設(shè)與已知直線x-2y+3=0平行的直線方程是:x-2y+c=0,
將C(1,3)代入x-2y+c=0,得:c=5,
故直線方程是:x-2y+5=0;
(2)設(shè)直線l的方程為xa+y=1(a>0,b>0),
∵直線過C(1,3),∴1a+3=1
∵1=1a+\frac{3}≥23ab=12ab,
∴ab≥12,當且僅當a=2,b=6時等號成立
此時S△ABC=12ab≥6,即面積的最小值為6,
所求直線l的方程是x2+y6=1,
即3x+y-6=0.

點評 本題給出直線經(jīng)過定點,求使直線被坐標軸截得三角形面積最小時直線的方程.著重考查了直線的方程、基本不等式求最值等知識,屬于中檔題.

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