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13.已知等差數(shù)列{an}的首項a1=1,公差d>0,且第2項、第5項、第14項分別是一個等比數(shù)列的第2項、第3項、第4項.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)bn=1nan+3 (n∈N+),Sn=b1+b2+…+bn,求Sn

分析 (1)由等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)可知:(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,由d>0,代入即可求得d=2,根據(jù)等差數(shù)列通項公式,即可求得數(shù)列{an}的通項公式;
(2)bn=1nan+3=12nn+1=121n-1n+1),采用“裂項法”即可求得Sn

解答 解:(1)由題意得(a1+d)(a1+13d)=(a1+4d)2,
整理得:2a1d=d2
∵d>0,
∴d=2.
∵a1=1.
∴an=2n-1 (n∈N+).
(2)bn=1nan+3=12nn+1=121n-1n+1),
∴Sn=b1+b2+…+bn
=12[(1-12)+(12-13)+…(1n-1n+1)],
=12[1-1n+1],
=n2n+1,
∴Sn=n2n+1

點(diǎn)評 本題考查等比數(shù)列等比中項,等差數(shù)列通項公式,考查采用“裂項法”求數(shù)列的前n項和,考查計算能力,屬于中檔題.

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