Question

【題目】已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù)是奇函數(shù).

（1）求，判斷函數(shù)的單調(diào)性并證明.

（2）對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）, 函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),證明見詳解；

（2）

【解析】

（1）由函數(shù)是奇函數(shù)，可得，代入可得的值，判斷函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，用定義法可得證明；

（2）由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，對任意的不等式恒成立可化為恒成立，分離參數(shù)可得，設(shè)求出的最小值，可得的取值范圍.

解：由函數(shù)是奇函數(shù)，且函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,故，

即，，故，

判斷函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，證明如下：

設(shè)，

易得：，，故，

故數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)；

（2）由題意,對于任意的不等式恒成立,

可得恒成立，由（1）可得單調(diào)遞減，

故可得：對于任意的，恒成立，

故可得：，可得，，

設(shè)，易得為單調(diào)遞減的函數(shù)，

可得

故可得，

故的取值范圍為.