Question

【題目】已知直線l：y=3x+3．
（1）求點(diǎn)P（5，3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)；
（2）求直線l1：x﹣y﹣2=0關(guān)于直線l的對稱直線l2的方程；
（3）已知點(diǎn)M（2，6），試在直線l上求一點(diǎn)N使得|NP|+|NM|的值最小．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為P'（a，b），

則 ，解得： ，

即點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（﹣4，6）；

（2）解：解方程組 得 ，

即兩直線l與l的交點(diǎn)坐標(biāo)為

因?yàn)橹本�l與l2關(guān)于直線l對稱，所以直線l2必過點(diǎn) ，

又由（1）可知，點(diǎn)P（5，3）恰好在直線l上，且其關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為P'（﹣4，6），

所以直線l2必過點(diǎn)P'（﹣4，6），這樣由兩點(diǎn)式可得： ，

即7x+y+22=0；

（3）解：由（1）得P'（﹣4，6），連接P'M，交直線l于N，連接NP，

則|NP|+|NM|=|NP'|+|NM|=|P'M|最小，

設(shè)出N（x，3x+3），則由P'，M，N共線，可得，

，解得，x=1，

則可得N（1，6）．

【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P的對稱點(diǎn)為P'（a，b），由中點(diǎn)坐標(biāo)公式和兩直線垂直的條件列方程，解出即可；（2）首先求出兩直線的交點(diǎn)，再由點(diǎn)關(guān)于直線對稱的求法求出對稱點(diǎn)，再由直線方程的形式，即可得到；（3）可由（1）的結(jié)論，連接P'M，交直線l于N，連接NP，再由三點(diǎn)共線的知識，即可求出N．