Question

已知定義域為R的函數f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函數．
（1）求a、b的值；
（2）用定義證明：函數f（x）在R上是減函數；
（3）已知不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

考點：函數恒成立問題,函數單調性的判斷與證明

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：（1）由題意可得f（-x）+f（x）=0恒成立，故可得a=2，b=1或a=-2，b=-1，注意檢驗；
（2）由（1）可求得f（x）=

1

2

1-2x

2x+1

，利用定義證明即可；
（3）借助函數的性質化不等式f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0為log_m

3

4

＜1，從而解得．

解答： 解：（1）由題意，
f（-x）+f（x）=

-2-x+b

2-x+1+a

+

-2x+b

2x+1+a

=0，
即（2^-x+1+a）（-2^x+b）+（-2^-x+b）（2^x+1+a）=0；
整理可得，
-2+2b2^-x-a2^x+ab-2+2b2^x-a2^-x+ab=0；
故

ab-2=0 2b-a=0

，
解得，a=2，b=1或a=-2，b=-1；
當a=-2，b=-1時，定義域不是R，故不成立；
故a=2，b=1；
（2）證明：由（1）知，f（x）=

1

2

1-2x

2x+1

；
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=

1

2

•

1-2x1

2x1+1

-

1

2

•

1-2x2

2x2+1

=

2x2-2x1

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x₁＜x₂，
∴0＜2x1＜2x2；
∴f（x₁）-f（x₂）＞0；
故函數f（x）在R上是減函數；
（3）∵f（x）=

1

2

1-2x

2x+1

是R上的奇函數，
∴f（log_m

3

4

）+f（-1）＞0可化為f（log_m

3

4

）＞f（1）；
又∵函數f（x）在R上是減函數；
故log_m

3

4

＜1；
①當m＞1時，成立；
②當0＜m＜1時，

3

4

＞m；
故0＜m＜

3

4

；
綜上所述，m＞1或0＜m＜

3

4

．

點評：本題考查了函數的性質的判斷與證明，同時考查了恒成立問題，屬于中檔題．