已知函致f (x)=x3+bx2+cx+d.
(I)當(dāng)b=0時(shí),證明:曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為12x+y-13=0,記函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,當(dāng)x1+x2=2時(shí),求f(x1)+f(x2).
【答案】分析:(Ⅰ)求導(dǎo)函數(shù),確定切線的斜率,從而可得切線方程,與已知曲線聯(lián)立,即可得到結(jié)論;
(Ⅱ)確定切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值,即可求得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)證明:當(dāng)b=0時(shí),f(x)=x3+cx+d,f′(x)=3x2+c.
∴f(0)=d,f′(0)=c.…(2分)
曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線為y=cx+d.
消去y,得x3=0,x=0.
所以曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn)即切點(diǎn).…(4分)
(Ⅱ)解:由已知,切點(diǎn)為(1,1).
又f′(x)=3x2+2bx+c,于是,即得c=-2b-15,d=b+15.…(7分)
從而f(x)=x3+bx2-(2b+15)x+b+15,f′(x)=3x2+2bx-2b-15.
依題設(shè),x1+x2=-,故b=-3.…(9分)
于是f(x)=x3-3x2-9x+12,f′(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3).
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化如下:
x(-∞,-1)-1(-1,3)3(3,+∞)
f′(x)+-+
f(x)極大值17極小值-15
由此知,f(x1)+f(x2)=2.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用,考查函數(shù)的單調(diào)性與極值,考查學(xué)生的計(jì)算能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函致f (x)=x3+bx2+cx+d.
(I)當(dāng)b=0時(shí),證明:曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為12x+y-13=0,記函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,當(dāng)x1+x2=2時(shí),求f(x1)+f(x2).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函致f (x)=x3+bx2+cx+d.
(I)當(dāng)b=0時(shí),證明:曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為12x+y-13=0,且它們只有一個(gè)公共點(diǎn),求函數(shù)y=f(x)的所有極值之和.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年河北省唐山市高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知函致f (x)=x3+bx2+cx+d.
(I)當(dāng)b=0時(shí),證明:曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為12x+y-13=0,記函數(shù)y=f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2,當(dāng)x1+x2=2時(shí),求f(x1)+f(x2).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012-2013學(xué)年河北省唐山市高三(上)摸底數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

已知函致f (x)=x3+bx2+cx+d.
(I)當(dāng)b=0時(shí),證明:曲線y=f(x)與其在點(diǎn)(0,f(0))處的切線只有一個(gè)公共點(diǎn);
(Ⅱ)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線為12x+y-13=0,且它們只有一個(gè)公共點(diǎn),求函數(shù)y=f(x)的所有極值之和.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案