Question

如圖，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M、N．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）求

TM

•

TN

的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．試問(wèn)；是否存在使S_△POS•S_△POR最大的點(diǎn)P，若存在求出P點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓的離心率為

3

2

，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T：（x+2）²+y²=r²（r＞0），可求a，c，即可求求橢圓C的方程；
（Ⅱ）表示出

TM

•

TN

，利用配方法求最小值，可得M的坐標(biāo)，從而可得圓的半徑，即可求此時(shí)圓T的方程；
（Ⅲ）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，證明|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值，要使S_△POS•S_△POR最大，只要yp2最大，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（I）由題意知

c a = 3 2 a=2

解之得：a=2，c=

3

，
由c²=a²-b²得b=1，
故橢圓C方程為

x2

4

+y2=1；．…（3分）
（II）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₁，-y₁），
不妨 設(shè)y₁＞0，由于點(diǎn)M在橢圓C上，∴y12=1-

x12

4

，
由已知T(-2，0)，則

TM

=(x1+2，y1)，

TN

=(x1+2，-y1)，
∴

TM

•

TN

=(x1+2，y1)•(x1+2，-y1)=(x1+2)2-y12=(x1+2)2-(1-

x12

4

)=

5

4

(x1+

8

5

)2-

1

5

，…..（6分）
由于-2＜x＜2，故當(dāng)x1=-

8

5

時(shí)，

TM

•

TN

取得最小值為-

1

5

，
當(dāng)x1=-

8

5

時(shí)y1=

3

5

，故M(-

8

5

，

3

5

)，
又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得r2=

13

25

，
故圓T的方程為：(x+2)2+y2=

13

25

；…..（8分）
（III）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)P，設(shè)P（x₀，y₀），則直線MP的方程為：y-y0=

y0-y1

x0-x1

(x-x0)，
令y=0，得xR=

x1y0-x0y1

y0-y1

，同理xS=

x1y0+x0y1

y0+y1

，
故xR•xS=

x12y02-x02y12

y02-y12

；…..（10分）
又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故x02=4(1-y02)，x12=4(1-y12)，
得xR•xS=

4(1-y12)y02-4(1-y02)y12

y02-y12

=

4(y02-y12)

y02-y12

=4，
∴|OR|•|OS|=|x_R|•|x_S|=|x_R•x_S|=4為定值，…．（12分）
∵S_△POS•S_△POR=

1

2

|OS||yp|•

1

2

|OR||yp|=

1

4

×4×yp2=yp2，
由P為橢圓上的一點(diǎn)，∴要使S_△POS•S_△POR最大，只要yp2最大，而yp2的最大值為1，
故滿足條件的P點(diǎn)存在其坐標(biāo)為P（0，1）和P（0，-1）．…..（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查圓的方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查三角形面積的計(jì)算，屬于中檔題．