Question

等差數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，a₁=3，前n項(xiàng)和為S_n，{b_n}為等比數(shù)列，b₁=1，且b₂S₂=64，b₃S₃=960．
（1）求a_n與b_n；
（2）若c_n=

an    (n為正奇數(shù)) bn    (n為正偶數(shù))

，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n=c₁+c₂+…+c_n．

Answer 1

分析：（1）已知，{b_n}為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，和等比數(shù)列前n項(xiàng)和的公式，求出其通項(xiàng)公式；
（2）因?yàn)閏_n的n分奇偶，肯定要分奇偶性來求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，無論n等于奇偶，還是構(gòu)成等差數(shù)列，利用公式進(jìn)行求解；

解答：解：（1）設(shè){a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，則d為正數(shù)，
則a_n=3+（n-1）d，b_n=q^n-1，
有

s3b3=(9+3d)q2=960 s2b2=(6+d)q=64

…①，
解得

d=2 q=8

或

d=- 6 5 q= 40 3

（舍去）
故a_n=3+2（n-1）=2n+1，b_n=8 ^n-1；
（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a₁，a₃，…，a_n共

n+1

2

項(xiàng)，構(gòu)成等差數(shù)列，
首項(xiàng)為a₁=3，公差為2d=4，
b₂，b₄，…，b_n-1共

n-1

2

項(xiàng)，構(gòu)成等比數(shù)列，首項(xiàng)為b₂=8，公比為q²=64，
所以c₁+c₂+…+c_n=（a₁+a₃+…+a_n）+（b₁+b₄+…+b_n-1）
=

n+1

2

a₁+

n+1 2 ( n+1 2 -1)

2

-2d+

8(1-64 n-1 2 )

1-64

=

n2+3n+2

2

+

8n-8

63

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，易知c₁+c₂+…+c_n=（a₁+a₃+…+a_n-1）+（b₂+b₄+…+b_n）=

n

2

a1+

n 2 ( n 2 -1)

2

-2d+

8(1-64 n 2 )

1-64

=

n2+n

2

+

8n+1-8

63

；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列求和問題及分類討論的思想還有等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，同時(shí)考查學(xué)生的運(yùn)算能力，本題是一道中檔題，學(xué)生計(jì)算的時(shí)候一定要細(xì)心；