Question

設m是常數，集合
（1）證明：當m∈M時，f（x）對所有的實數x都有意義；
（2）當m∈M時，求函數f（x）的最小值；
（3）求證：對每個m∈M，函數f（x）的最小值都不于1．

Answer 1

解：（1），
當m∈M，即 m＞1時，恒成立，
故f（x）的定義域為R．
（2）設，
∵y=log₃U是增函數，
∴當U最小時f（x）最小．
而，顯然當x=2m時，U的最小值為，
此時．
（3）m∈M時，，當且僅當m-1=1時，即m=2時，等號成立，
所以，即函數f（x）的最小值都不小于1．
分析：（1）化簡函數的解析式為，m＞1時，恒成立，故f（x）的定義域為R．
（2）設，由于y=log₃U是增函數，故當U最小f（x）最小，再由U的最小值為，求得f（x）的最小值．
（3）根據m∈M時，，從而證得函數f（x）的最小值都不小于1．
點評：本題主要考查基本不等式在最值問題中的應用，對數函數的圖象性質的應用，屬于中檔題．