(理)設(shè)x1、x2(x1≠x2)是函數(shù)f(x)=ax3+bx2-a2x(a>0)的兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)若x1=-1,x2=2,求函數(shù)f(x)的解析式;

(2)若|x1|+|x2|=,求b的最大值;

(3)若x1<x<x2,且x2=a,函數(shù)g(x)=f′(x)-a(x-x1),求證:|g(x)|≤a(3a+2)2.

(文)如圖,N為圓x2+(y-2)2=4上的點(diǎn),OM為直徑,連結(jié)MN并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)C,過(guò)C引直線垂直于x軸,且與弦ON的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)D.

(1)已知點(diǎn)N(,1),求點(diǎn)D的坐標(biāo);

(2)若點(diǎn)N沿著圓周運(yùn)動(dòng),求點(diǎn)D的軌跡E的方程;

(3)設(shè)P(0,a)(a>0),Q是點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),直線l過(guò)點(diǎn)P交曲線E于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)H在射線QB上,且AH⊥PQ,求證:不論l繞點(diǎn)P怎樣轉(zhuǎn)動(dòng),恒有.

答案:(理)解:f′(x)=3ax2+2bx-a2(a>0).

(1)∵x1=-1,x2=2是函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),∴f′(-1)=0,f′(2)=0.∴3a-2b-a2=0,12a+4b-a2=0,解得a=6,b=-9.∴f(x)=6x3-9x2-36x.

(2)∵x1、x2是f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn),∴f′(x1)=f′(x2)=0.∴x1、x2是方程3ax2+2bx-a2=0的兩根.∵Δ=4b2+12a3,∴Δ>0對(duì)一切a>0,b∈R恒成立.x1+x2=,x1+x2=,∵a>0,∴x1·x2<0.∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=.

由|x1|+|x2|=22,得,∴b2=3a2(6-a).∵b2≥0,∴3a2(6-a)≥0.∴0<a≤6.

令h(a)=3a2(6-a),則h′(a)=-9a2+36a.

當(dāng)0<a<4時(shí),h′(a)>0,∴h(a)在(0,4)上是增函數(shù);

當(dāng)4<a<6時(shí),h′(a)<0,∴h(a)在(4,6)上是減函數(shù).

∴當(dāng)a=4時(shí),h(a)有極大值為96.∴h(a)在(0,6]上的最大值是96.∴b的最大值是.

(3)∵x1、x2是方程f′(x)=0的兩根,∴f′(x)=3a(x-x1)(x-x2).

∴|g(x)|=3a|x-x1|·|x-x2-|≤3a2.

∵x1<x<x2,∴x-x1>0,x-x2<0.∴|g(x)|≤[(x-x1)-(x-x2-)]2=(x2-x1+)2.

∵x1·x2=,x2=a,∴x1=-.∴|g(x)|≤·(a++)2=a(3a+2)2.

(文)(1)∵M(jìn)(0,4)、N(,1),∴MN所在直線的方程為,

即y=x+4.令y=0,得x,∴C(,0).又ON所在直線方程為y=x,

得y=.∴點(diǎn)D坐標(biāo)為(,).

(2)∵M(jìn)(0,4),O(0,0),設(shè)D(x,y),N(x1,y1),∴C(x,0).

過(guò)N作NK⊥OC于K,則NK∥CD∥OM,∴,即.①

,即.②

由①②,得∵點(diǎn)N在圓x2+(y-2)2=4上,

∴x12+(y1-2)2=4,即()2+(-2)2=4.整理,得x2=4y.

(3)∵直線l過(guò)點(diǎn)P(0,a)且交曲線x2=4y于A、B兩點(diǎn),故可設(shè)直線l的方程為y=kx+a,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2).

得x2-4kx-4a=0,∴x1x2=-4a.

設(shè)P分的比為λ,則,且=0,∴λ=.

又∵Q(0,-a),∴=(0,2a),=(x2,y2+a),=(x1,y1+a).

∵點(diǎn)H在射線QB上,設(shè)=m·,則

=m·=(mx2-x1,my2-y1-(1-m)a),

∵AH⊥PQ,∴=0,即2a[my2-y1-(1-m)a]=0.∵a≠0,y1=x12,y2=x22,

-(1-m)a=0,m·+x1x2=0,m·x22-x12+(1-m)x1x2=0,

()2+(m-1)-m=0,λ2-(m-1)λ-m=0,(λ-m)(λ+1)=0,

∵λ≠-1,∴λ=m.依題意,得λ>0,m>0,

∴λ=,m=.∴=.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

15、(理)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=|x2-2x-3|,若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有且只有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1,x2,x3,x4,x5,則x1+x2+x3+x4+x5=
5

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(理)設(shè)函數(shù)f(x)=a1•sin(x+α1)+a2•sin(x+α2)+…+an•sin(x+αn),其中ai、αi(i=1,2,…,n,n∈N*,n≥2)為已知實(shí)常數(shù),x∈R.
下列關(guān)于函數(shù)f(x)的性質(zhì)判斷正確的命題的序號(hào)是
①②③④
①②③④

①若f(0)=f(
π
2
)=0
,則f(x)=0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立;
②若f(0)=0,則函數(shù)f(x)為奇函數(shù);
③若f(
π
2
)=0
,則函數(shù)f(x)為偶函數(shù);
④當(dāng)f2(0)+f2(
π
2
)≠0
時(shí),若f(x1)=f(x2)=0,則x1-x2=kπ(k∈Z).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(理)設(shè)f(x)是定義在D上的函數(shù),若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈(0,1)以及x1、x2∈D恒有f(αx1+(1-α)x2)≤αf(x1)+(1-α)f(x2)成立,則稱f(x)為定義在D上的下凸函數(shù).
(1)試判斷函數(shù)g(x)=2x(x∈R),k(x)=
1x
 (x<0)
是否為各自定義域上的下凸函數(shù),并說(shuō)明理由;
(2)若h(x)=px2(x∈R)是下凸函數(shù),求實(shí)數(shù)p的取值范圍;
(3)已知f(x)是R上的下凸函數(shù),m是給定的正整數(shù),設(shè)f(0)=0,f(m)=2m,記Sf=f(1)+f(2)+f(3)+…+f(m),對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f(x),試求Sf的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:河南省信陽(yáng)市商城高中2006-2007學(xué)年度高三數(shù)學(xué)單元測(cè)試、不等式二 題型:044

解答題:解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟.

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證:

(1)

方程f(x)=0有實(shí)根.

(2)

a>0且-2<<-1;

(3)

(理)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

(文)設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個(gè)實(shí)根,則

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案