Question

4．如圖，已知圓E：（x+$\sqrt{3}$）²+y²=16，點(diǎn)F（$\sqrt{3}$，0），P是圓E上任意一點(diǎn)．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（1）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（2）已知A，B，C是軌跡Γ的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A在一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且|CA|=|CB|，問(wèn)△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此最小值及相應(yīng)直線AB的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)QF，根據(jù)題意，|QP|=|QF|，則|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞2$\sqrt{3}$，可得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓，即可求出動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程；
（2）設(shè)直線AB的方程為y=kx，與橢圓方程聯(lián)立，求出A的坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出△ABC的面積，利用基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）Q在線段PF的垂直平分線上，所以QP=QF；得QE+QF=QE+QP=PE=4，
又$EF=2\sqrt{3}＜4$，得Q的軌跡是以E，F(xiàn)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．
∴動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡Γ的方程$τ：\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）由點(diǎn)A在一象限，B與A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)AB：y=kx（k＞0），|CA|=|CB|，
∴C在AB的垂直平分線上，∴$CD：y=-\frac{1}{k}x$．
$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.⇒（1+4{k^2}）{x^2}=4$，$|{AB}|=2|{OA}|=2\sqrt{{x^2}+{y^2}}=4\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{4{k^2}+1}}}$，
同理可得$|{OC}|=2\sqrt{\frac{{{k^2}+1}}{{{k^2}+4}}}$，
則S_△ABC=2S_△OAC=|OA|×|OC|=$\frac{4（1+{k}^{2}）}{\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}}$．
由于$\sqrt{（1+4{k}^{2}）（{k}^{2}+4）}$≤$\frac{5（1+{k}^{2}）}{2}$，
所以S_△ABC=2S_△OAC≥$\frac{8}{5}$，當(dāng)且僅當(dāng)1+4k²=k²+4（k＞0），|即k=1時(shí)取等號(hào)．△ABC的面積取最小值$\frac{8}{5}$．
直線AB的方程為y=x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的定義與方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．