Question

【題目】已知f(x)＝x2－a|x－1|－1，a∈R．

（1）判斷并證明函數(shù)f(x)的奇偶性；

（2）若f(x)≥0對(duì)x∈[1，＋∞)恒成立，求a的取值范圍；

（3）寫(xiě)出f(x)在[－2，2]上的最大值g(a)．(不需要解答過(guò)程)

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見(jiàn)解析（2）(－∞，2]（3）

【解析】

（1）驗(yàn)證即可；

（2）對(duì)恒成立，則對(duì)恒成立，分類(lèi)討論，即可求的取值范圍；

（3）分類(lèi)討論，去掉絕對(duì)值符號(hào)，即可寫(xiě)出在，上的最大值．

解：（1）當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)＝x2－1，f(x)為偶函數(shù)，

任意x∈R，f(－x)＝(－x)2－1＝x2－1＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．

當(dāng)時(shí)，所以非奇非偶.

（2）當(dāng)x∈[1，＋∞)時(shí)，f(x)＝x2－a(x－1)－1＝(x－1)(x＋1－a)．

x＝1時(shí)，由f(x)≥0成立，得a∈R；

x＞1時(shí)，由f(x)≥0恒成立，得(x－1)(x＋1－a)≥0恒成立，

即x＋1－a≥0恒成立，所以a≤x＋1對(duì)x＞1恒成立，

所以a≤2．

綜上，a的取值范圍是(－∞，2]．

（3）f(x)＝x2－a|x－1|－1＝

因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax＋a－1在[1，2]上的最大值＝max{f(1)，f(2)}；

f(x)＝x2＋ax－a－1在[－2，1]上的最大值＝max{f(1)，f(－2)}．

所以g(a)＝max{f(－2)，f(1)，f(2)}＝max{3－3a，0，3－a}

＝