Question

若a＞2，則函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+1在區(qū)間（0，2）上恰好有

1

個(gè)零點(diǎn)．

Answer 1

分析：由已知中a＞2，可得f（0）=1＞0，f（2）=

11

3

-4a＜0即函數(shù)在區(qū)間（0，2）上有零點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)f′（x）=x²-2ax=x（x-2a），當(dāng)a＞2時(shí)，在區(qū)間（0，2）上f′（x）＜0恒成立，可得函數(shù)在區(qū)間（0，2）上遞減，至多有一個(gè)零點(diǎn)，可得答案．

解答：解：∵f（x）=

1

3

x³-ax²+1
∴f′（x）=x²-2ax=x（x-2a），當(dāng)a＞2時(shí)
在區(qū)間（0，2）上f′（x）＜0恒成立
即函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+1區(qū)間（0，2）上為減函數(shù)
又∵f（0）=1＞0，f（2）=

11

3

-4a＜0
故函數(shù)f（x）=

1

3

x³-ax²+1在區(qū)間（0，2）上有且只有一個(gè)零點(diǎn)
故答案為1

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)零點(diǎn)判定定理，其中正確理解單調(diào)函數(shù)在區(qū)間上至多有一個(gè)零點(diǎn)，是解答本題的關(guān)鍵．