Question

已知集合A={a，b，c}，其中a，b，c是三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)．如果a，b，c能夠作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)，且該三角形的最大角是最小角的2倍，求所有滿足條件的集合A．

Answer 1

分析：先設(shè)出三邊長(zhǎng)以及三個(gè)角的度數(shù)，結(jié)合正弦定理以及余弦定理求出關(guān)于邊長(zhǎng)的等式，即可求出結(jié)論．

解答：（本題滿分12分）
解：依題意，不妨設(shè)a=n-1，b=n，c=n+1，對(duì)應(yīng)的三個(gè)內(nèi)角是α，π-3α，2α
由正弦定理，

n-1

sinα

=

n+1

sin2α

…（4分）
所以cosα=

n+1

2(n-1)

…（6分）
由余弦定理，（n-1）²=（n+1）²+n²-2（n+1）ncosα…（8分）
即(n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n•

n+1

2(n-1)

化簡(jiǎn)，得：n²-5n=0
所以，n=0，或n=5，n=0不合題意，舍去．
n=5，三角形的三邊長(zhǎng)為4，5，6．…（10分）
可以驗(yàn)證此三角形的最大角是最小角的2倍． …（11分）
故：A={4，5，6}                           …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考察正弦定理在解三角形中的應(yīng)用問(wèn)題．解決本題的關(guān)鍵在于根據(jù)條件得到(n-1)2=(n+1)2+n2-2(n+1)n•

n+1

2(n-1)

化簡(jiǎn)，得：n²-5n=0，進(jìn)而求出結(jié)論．