Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

ax-1

x+1

，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定義域?yàn)閰^(qū)間[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定義域?yàn)閰^(qū)間（0，+∞），求a的取值范圍，使f（x）在定義域內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)．

Answer 1

分析：由于本題兩個(gè)小題都涉及到函數(shù)的單調(diào)性的判斷，故可先設(shè)x₁，x₂∈R，得到f（x₁）-f（x₂）差，將其整理成幾個(gè)因子的乘積
（1）將a=1的值代入，判斷差的符號(hào)得出函數(shù)的單調(diào)性，即可確定函數(shù)在區(qū)間[0，3]的最大值，計(jì)算出結(jié)果即可
（2）由于函數(shù)是定義域（0，+∞）是減函數(shù)，設(shè)x₁＞x₂＞0，則有f（x₁）-f（x₂）＜0，由此不等式即可得出參數(shù)的取值范圍．

解答：解：f（x）=

ax-1

x+1

=

a(x+1)-a-1

x+1

=a-

a+1

x+1

，
設(shè)x₁，x₂∈R，則f（x₁）-f（x₂）=

a+1

x2+1

-

a+1

x1+1

=

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=1-

2

x+1

，設(shè)0≤x₁＜x₂≤3，
則f（x₁）-f（x₂）=

2(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
又x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴f（x）在[0，3]上是增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（3）=1-

2

4

=

1

2

，f（x）_min=f（0）=1-

2

1

=-1．
（2）設(shè)x₁＞x₂＞0，則x₁-x₂＞0，x₁+1＞0，x₂+1＞0．
若使f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，只要f（x₁）-f（x₂）＜0，而f（x₁）-f（x₂）=

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∴當(dāng)a+1＜0，即a＜-1時(shí)，有f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂）．
∴當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)是單調(diào)減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷與單調(diào)性的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟練掌握函數(shù)單調(diào)性判斷的方法定義法，本題考查了推理判斷的能力及運(yùn)算能力，屬于中檔題