Question

已知二次函數(shù)f（x）的二次項系數(shù)為a，且不等式f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
（1）若當x≤-1時，不等式f（x）+5a＜0恒成立，求a的取值范圍；
（2）當x∈[0，2]時，f（x）的值域是[-6，-

3

2

]，求實數(shù)a．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題,二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由f（x）＞-2x的解集為（1，3），得f（x）+2x=a（x-1）（x-3），從而求得函數(shù)f（x）的解析式，代入f（x）+5a＜0，利用“三個二次”的結(jié)合列不等式組求解a的取值范圍；
（2）求出二次函數(shù)f（x）的對稱軸，對對稱軸分類求解當x∈[0，2]時，f（x）的值域是[-6，-

3

2

]的實數(shù)a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）＞-2x的解集為（1，3）．
∴f（x）+2x=a（x-1）（x-3），
∴a＜0，
f（x）=a（x-1）（x-3）-2x=ax²-（2+4a）x+3a，
∴不等式f（x）+5a＜0即為ax²-（2+4a）x+8a＜0，
要使ax²-（2+4a）x+8a＜0在x≤-1時恒成立，
則

a＜0 2+4a 2a ＞-1 a+(2+4a)+8a＜0

  ①或

a＜0 [-(2+4a)]2-4a•9a＜0

  ②，
解①得：a＜-

1

3

，解②得：a＜-

1

5

．
∴當x≤-1時，不等式f（x）+5a＜0恒成立的實數(shù)a的取值范圍是(-∞，-

1

5

)；
（2）f（x）=ax²-（2+4a）x+3a，
當a＜0時，對稱軸為x=2+

1

a

＜2，
若2+

1

a

≤0，即-

1

2

≤a＜0，則

3a=- 3 2 4a-2(2+4a)+3a=-6

，a不存在；
若0＜2+

1

a

≤1，即-1≤a＜-

1

2

，則

12a2-(2+4a)2 4a =- 3 2 4a-2(2+4a)+3a=-6

，a不存在；
若1＜2+

1

a

＜2，即a＜-1，則

3a=-6 12a2-(2+4a)2 4a =- 3 2

，解得a=-2．
綜上，實數(shù)a的值為-2．

點評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，考查了二次函數(shù)最值的求法，體現(xiàn)了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法和分類討論的數(shù)學思想方法，是中高檔題．