已知函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇O,1],且同時(shí)滿足:
①對(duì)于任意x∈[0,1],總有f(x)≥3;
②f(1)=4;
③若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3.
(I)求f(0)的值;
(II)求函數(shù)f(x)的最大值;
(III)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,滿足a1=1,Sn=-(an-3),n∈N+.求證:f(a1)+f(a2)+…+f(an)<3n+
【答案】分析:(I)利用賦值法,令x1=x2=0,結(jié)合f(x)≥3對(duì)一切x∈[0,1]恒成立,我們可以求出f(0);
(Ⅱ)先證明f(x)在[0,1]上遞增,利用f(1)=4,即可求得f(x)的最大值為;
(Ⅲ)先求數(shù)列{an}的通項(xiàng),再證明f(an)≤3+,利用疊加,即可證得結(jié)論.
解答:(Ⅰ)解:令x1=x2=0,則有f(0)≥2f(0)-3,即f(0)≤3
又對(duì)任意任意x∈[0,1],總有f(x)≥3,∴f(0)=3 (3分)
(Ⅱ)解:任取x1,x2∈[0,1],x1<x2,則
f(x2)=f[x1+(x2-x1)]≥f(x1)+f(x2-x1)-3
∵0<x2-x1≤1,∴f(x2-x1)≥3
∴f(x2)≥f(x1)+3-3
∴f(x2)≥f(x1),即f(x)在[0,1]上遞增.
∴當(dāng)x∈[0,1]時(shí),f(x)≤f(1)=4,∴f(x)的最大值為4 (6分)
(Ⅲ)證明:當(dāng)n>1時(shí),an=Sn-Sn-1=-(an-3)+(an-1-3),
(7分)
∴數(shù)列{an}是以1為首項(xiàng),公比為的等比數(shù)列,
(8分)
∵f(1)=f[3n-1×]=f[+(3n-1-1)×]≥f()+f[(3n-1-1)×]-3
即 4≥3n-1f()-3n+3 (10分)
∴f()≤=3+,
即f(an)≤3+,(11分)
∴f(a1)+f(a2)+…+f(an)≤(3+)+…+(3+)=3n+-<3n+
∴原不等式成立 (14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查抽象函數(shù),考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的最值,考查數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系,考查不等式的證明,綜合性強(qiáng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)定義在(-1,1)上,對(duì)于任意的x,y∈(-1,1),有f(x)+f(y)=f(
x+y
1+xy
)
,且當(dāng)x<0時(shí),f(x)>0.
(Ⅰ)驗(yàn)證函數(shù)f(x)=ln
1-x
1+x
是否滿足這些條件;
(Ⅱ)判斷這樣的函數(shù)是否具有奇偶性和其單調(diào)性,并加以證明.

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已知函數(shù)f(x)定義在R上,并且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)成立,且x≠y時(shí),f(x)≠f(y),x>0時(shí),有f(x)>0.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)若f(1)=1,解關(guān)于x的不等式f(x)-f(
1x-1
)≥2

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(2009•連云港二模)已知函數(shù)f(x)定義在正整數(shù)集上,且對(duì)于任意的正整數(shù)x,都有f(x+2)=2f(x+1)-f(x),且f(1)=2,f(3)=6,則f(2009)=
4018
4018

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)定義在區(qū)間(-1,1)上,f(
1
2
)=-1,且當(dāng)x,y∈(-1,1)時(shí),恒有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
),又?jǐn)?shù)列{an}滿足:a1=
1
2
,an+1=
2an
1+
a
2
n

(I)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數(shù);
(II)求f(an)關(guān)于n的函數(shù)解析式;
(III)令g(n)=f(an)且數(shù)列{an}滿足bn=
1
g(n)
,若對(duì)于任意n∈N+,都有b1+b2+…+bnt2-3t恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)定義在R上,對(duì)任意的x∈R,f(x+1001)=
2
f(x)
+1
,已知f(11)=1,則f(2013)=
 

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