Question

5．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$（其中k∈R，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），f′（x）為f（x）的導函數(shù)．
（1）若f′（1）=0，求函數(shù)g（x）=f（x）e^x-x的極大值；
（2）若x∈（0，1]時，方程f′（x）=0有解，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數(shù)，令f′（x）=0，求出k=1，求出g（x）的表達式，從而求出g（x）的單調性，單調g（x）的最大值即可；
（2）解出k=$\frac{1-xlnx}{x}$，令F（x）=$\frac{1-xlnx}{x}$，求出F（x）的單調性，得到F（x）≥F（1）-1，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（1）由f（x）=$\frac{lnx+k}{{e}^{x}}$，
得f′（x）=$\frac{1-kx-xlnx}{{xe}^{x}}$，x∈（0，+∞），
由f′（1）=0得：k=1，
∴g（x）=lnx+1-x，g′（x）=$\frac{1-x}{x}$，
∴g（x）在（0，1]遞增，在（1，+∞）遞減，
∴g（x）的最大值是g（1）=0；
（2）由f′（x）=0，得k=$\frac{1-xlnx}{x}$，
令F（x）=$\frac{1-xlnx}{x}$，
∵0＜x≤1，∴F′（x）=-$\frac{x+1}{{x}^{2}}$＜0，
∴F（x）在區(qū)間（0，1]上遞減，
當x→0時，F(xiàn)（x）→+∞，
故F（x）≥F（1）-1，
即k≥1，
故k的范圍是[1，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．