如圖,設(shè)A是由n×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中au(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù),且au∈{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.
對于A∈S(n,n),記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令l(A=
n
i-1
r
i
(A)+
n
j-1
c
j
(A)).
(Ⅰ)請寫出一個(gè)A∈s(4,4),使得l(A)=0;
(Ⅱ)是否存在A∈S(9,9),使得l(A)=0?說明理由;
(Ⅲ)給定正整數(shù)n,對于所有的A∈S(n,n),求l(A)的取值集合.
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
分析:(Ⅰ)可以取第一行都為-1,其余的都取1,即滿足題意;
(Ⅱ)不存在A∈S(9,9),使得l(A)=0.可用反證法證明假設(shè)存在,得出矛盾,從而證明結(jié)論;
(Ⅲ)通過分析正確得出l(A)的表達(dá)式,及從A0如何得到A1,…依此類推即可得到Ak
解答:(Ⅰ)解:答案不唯一,如圖所示數(shù)表符合要求.
-1 -1 -1 -1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
(Ⅱ)解:不存在A∈S(9,9),使得l(A)=0.                 
證明如下:
假設(shè)存在A∈S(9,9),使得l(A)=0.
因?yàn)閞i(A)∈{1,-1},cj(A)∈{1,-1},(i,j=1,2,3,…,9),
所以r1(A),…,r9(A);c1(A),…,c9(A),這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1.
令M=r1(A)•…r9(A)c1(A)…c9(A).
一方面,由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1,9個(gè)-1,從而M=-1.  ①
另一方面,r1(A)•…r9(A)表示數(shù)表中所有元素之積(記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為m);c1(A)•…c9(A)也表示m,從而M=m2=1.             ②
①、②相矛盾,從而不存在A∈S(9,9),使得l(A)=0.        
(Ⅲ)解:記這n2個(gè)實(shí)數(shù)之積為P.
一方面,從“行”的角度看,有P=r1(A)•r2(A)…rn(A);
另一方面,從“列”的角度看,有P=c1(A)c2(A)…cn(A).
從而有r1(A)•r2(A)…rn(A)=c1(A)c2(A)…cn(A).     ③
注意到ri(A)∈{1,-1},cj(A)∈{1,-1},(i,j=1,2,3,…,n),
下面考慮r1(A),…,rn(A);c1(A),…,cn(A),這些數(shù)中-1的個(gè)數(shù):
由③知,上述2n個(gè)實(shí)數(shù)中,-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù),該偶數(shù)記為2k(0≤k≤n);則1的個(gè)數(shù)為2n-2k,
所以l(A)=(-1)×2k+1×(2n-2k)=2(n-2k).         
  對數(shù)表A0:aij=1,(i,j=1,2,3,…,n),顯然l(A0)=2n.
將數(shù)表A0中的a11由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A1,顯然l(A1)=2n-4.
將數(shù)表A1中的a22由1變?yōu)?1,得到數(shù)表A2,顯然l(A2)=2n-8.
依此類推,將數(shù)表Ak-1中的akk由1變?yōu)?1,得到數(shù)表Ak
即數(shù)表Ak滿足:a11=a22=…=akk=-1(1≤k≤n),其余aij=1.
所以 r1(A)=r2(A)=…=rk(A)=-1,c1(A)=c2(A)=…=ck(A)=-1.
所以l(Ak)=2[(-1)×k+(n-k)]=2n-4k.
由k的任意性知,l(A)的取值集合為{2(n-2k)|k=0,1,2,…n}.
點(diǎn)評:正確理解數(shù)表A的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及l(fā)(A)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.注意由特殊到一般的思想方法和反證法的應(yīng)用.本題需要較強(qiáng)的邏輯推理能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,設(shè)A是由n×n個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表,其中aij(i,j=1,2,3…,n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù),且aij∈{1,-1}.記S(n,n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合.
 a11  a12  a1n
 a21  a22  …  a2n




 …

 an1  an2  …  ann
對于A∈S(n,n),記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積,Cj(A)為A的第j列各數(shù)之積.令l(A)=
n
i=1
ri(A)+
n
j=1
Cj(A).
(Ⅰ)對如下數(shù)表A∈S(4,4),求l(A)的值;
1 1 -1 -1
1 -1 1 1
1 -1 -1 1
-1 -1 1 1
(Ⅱ)證明:存在A∈S(n,n),使得l(A)=2n-4k,其中k=0,1,2,…,n;
(Ⅲ)給定n為奇數(shù),對于所有的A∈S(n,n),證明:l(A)≠0.

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