Question

15．已知雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線與直線l：$\sqrt{3}$x-y=1平行，且雙曲線C的一個焦點到漸近線的距離為2$\sqrt{3}$，則雙曲線C的標準方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$．

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線漸近線和直線平行的關(guān)系，得到方程求出a，b的關(guān)系，結(jié)合焦點到漸近線的距離公式，即可求出a，b的值．

解答 解：雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
∵雙曲線的一條漸近線與直線l：$\sqrt{3}$x-y=1平行
∴雙曲線漸近線的斜率k=$\sqrt{3}$，
即$\frac{a}$=$\sqrt{3}$，即b=$\sqrt{3}$a，
雙曲線C的一個焦點（c，0）到漸近線bx-ay=0的距離為2$\sqrt{3}$，
即d=$\frac{bc}{\sqrt{{a}^{2}+^{2}}}$=$\frac{bc}{c}=b$=2$\sqrt{3}$，
∴a=2，即雙曲線的標準方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$，
故答案為：$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{12}=1$

點評 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)條件建立方程關(guān)系求a，b的值是解決本題的關(guān)鍵．