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13.已知函數(shù)f(x)=x+ax2+2x+2
(I)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,存在(α,β),α<β,使得函數(shù)f(x)在(α,β)上是增函數(shù);
(Ⅱ)若方程f(x)=x-1有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

分析 (Ⅰ)先求導(dǎo),再構(gòu)造函數(shù)h(x)=-x2-2ax+2-2a,再求導(dǎo),可得f′(x)≥0或f′(x)<0,故函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,問(wèn)得以證明.
(Ⅱ)判斷函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,方程f(x)=x-1即為a=(x-1)(x2+2x+2)-x=x3+x2-x-2,令g(x)=x3+x2-x-2,求出導(dǎo)數(shù),求得單調(diào)區(qū)間,極值,由題意可得a介于極小值和極大值之間

解答 解:(Ⅰ):∵f(x)=x+ax2+2x+2
∴f′(x)=x22ax+22ax2+2x+22,
設(shè)h(x)=-x2-2ax+2-2a,
∴h′(x)=-2x-2a,
∴h′(x)∈(-∞,+∞),
∴f′(x)≥0或f′(x)<0,
∴函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞增區(qū)間,
故對(duì)任意實(shí)數(shù)a,存在(α,β),α<β,使得函數(shù)f(x)在(α,β)上是增函數(shù);
(Ⅱ)由于x2+2x+2>0恒成立,則f(x)的定義域?yàn)镽,
由函數(shù)f(x)=x+ax2+2x+2
方程f(x)=x-1即為
a=(x-1)(x2+2x+2)-x=x3+x2-x-2,
令g(x)=x3+x2-x-2,
則g′(x)=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),
令g′(x)>0可得x>13或x<-1,
令g′(x)<0可得-1<x<13
即有g(shù)(x)的增區(qū)間為(-∞,-1),(13,+∞),
減區(qū)間為(-1,13),
則g(x)的極小值為g(13)=-5927,
極大值為g(-1)=-1.
方程f(x)=x-1有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根,
即為直線y=a和函數(shù)y=g(x)有三個(gè)交點(diǎn).
可得a的取值范圍是(-5927,-1)

點(diǎn)評(píng) 本題考查方程的根的個(gè)數(shù),運(yùn)用參數(shù)分離,轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù),考查函數(shù)的極值求法,屬于中檔題.

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(3)在(2)的條件下,若函數(shù)h(x)=f(x)+g(x)在區(qū)間(-1,1)上有且僅有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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