Question

已知平面向量

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）．
（1）證明：

a

⊥

b

；
（2）若存在實數(shù)k和t，使得x=

a

+（t²-3）

b

，y=-k

a

+t

b

，且x⊥y，試求函數(shù)關(guān)系式k=f（t）；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)論，確定k=f（t）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）只要證明

a

•

b

=0，即可證明a⊥b
（2）根據(jù)

x

⊥

y

可得，

x

•

y

=0，再化簡，即可得到含t和k的式子，用t表示k，可得函數(shù)關(guān)系式k=f（t）．
（3）利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，先求導(dǎo)，k′＜0得到，函數(shù)的減區(qū)間，令k′＞0得到函數(shù)的增區(qū)間．

解答：解：（1）證明：∵

a

=（

3

，-1），

b

=（

1

2

，

3

2

）
∴

3

×

1

2

+（-1）×

3

2

=0，∴

a

⊥

b

  …（4分）
（2）由題意知

x

=（

t2+2 3 -3

2

，

3 t2-3 3 -2

2

），

y

=（

1

2

t-

3

k，

3

2

t+k）
又

x

⊥

y

故

x

•

y

=

t2+2 3 -3

2

×（

1

2

t-

3

k）+

3 t2-3 3 -2

2

×（

3

2

t+k）=0
整理得：t³-3t-4k=0即k=

1

4

t³-

3

4

t  …（4分）
（3）由（2）知：k=f（t）=

1

4

t³-

3

4

t
∴k′=f′（t）=

3

4

t²-

3

4

令k′＜0得-1＜t＜1；t＜-1或t＞1
故k=f（t）單調(diào)遞減區(qū)間是（-1，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（4分）

點(diǎn)評：本題考查了向量垂直充要條件的應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題，應(yīng)該掌握．