Question

定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=-f（x）．則下列結(jié)論
①f（x）的圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱．
②f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱．
③f（x）為周期函數(shù)，且4為它的一個(gè)周期．
④方程f（x）=0在[0，4]上至少有兩個(gè)根．
其中一定正確的結(jié)論序號(hào)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的周期性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①根據(jù)偶函數(shù)的定義和條件f（x+2）=-f（x），即可判斷①；
②由于f（x+2）=-f（x），將x換為x+2，得到f（x+4）=f（x），再由偶函數(shù)的定義即可判斷②；
③由于f（x+2）=-f（x），將x換為x+2，得到f（x+4）=f（x），即可判斷③；
④由于f（x+2）=-f（x），令x=-1，又f（-x）=f（x）即可求出f（1）=0，再令x=1，即得f（3）=0，從而判斷④．

解答： 解：①由定義在R上的偶函數(shù)f（x）得f（-x）=f（x），又f（x+2）=-f（x），故f（x+2）+f（-x）=0，即圖象關(guān)于（1，0）對(duì)稱，①正確；
②由于f（x+2）=-f（x）．則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），又f（-x）=f（x），故f（x+4）=f（-x），即圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱，②正確；
③由于f（x+2）=-f（x）．則f（x+4）=-f（x+2）=f（x），故f（x）為周期函數(shù)，且4為它的一個(gè)周期，③正確；
④令x=-1，由于f（x+2）=-f（x），則f（1）=-f（-1），又f（-1）=f（1），故f（1）=0，又f（3）=-f（1）=0，故f（x）=0在[0，4]上至少有兩個(gè)根，④正確．
故答案為：①②③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性，考查解決抽象函數(shù)問(wèn)題常用的賦值法，正確賦值是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．