Question

10．已知點A，B，C在圓O：x²+y²=2上運動，且AB⊥BC，若點P的坐標為（1，1），則|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$|的取值范圍是（　�。�

• A． [0，4$\sqrt{2}$]
• B． [2，4]
• C． [2$\sqrt{2}$，4$\sqrt{2}$]
• D． [2$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 可作出圖形，根據(jù)條件可知AC為圓O的直徑，從而得到$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{PB}$，可設(shè)$B（\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ）$，從而可得到$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=（\sqrt{2}cosθ-3，\sqrt{2}sinθ-3）$，這樣即可得出$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|=\sqrt{20-12sin（θ+\frac{π}{4}）}$，而$-1≤sin（θ+\frac{π}{4}）≤1$，從而便可得出$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|$的取值范圍．

解答 解：如圖，
∵AB⊥BC，∴AC為圓O的直徑；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=2\overrightarrow{PO}+\overrightarrow{PB}$；
設(shè)$B（\sqrt{2}cosθ，\sqrt{2}sinθ）$，則$\overrightarrow{PB}=（\sqrt{2}cosθ-1，\sqrt{2}sinθ-1）$，$\overrightarrow{PO}=（-1，-1）$；
∴$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=（\sqrt{2}cosθ-3，\sqrt{2}sinθ-3）$；
∴$|\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}|$=$\sqrt{（\sqrt{2}cosθ-3）^{2}+（\sqrt{2}sinθ-3）^{2}}$=$\sqrt{20-12sin（θ+\frac{π}{4}）}$$∈[2\sqrt{2}，4\sqrt{2}]$．
故選：C．

點評 考查直徑所對的圓周角為直角，向量加法的平行四邊形法則，用三角函數(shù)表示圓上點的坐標的方法，根據(jù)點的坐標求向量的坐標，以及向量坐標的加法和數(shù)乘運算，能根據(jù)向量坐標求向量長度，正弦函數(shù)的值域．