Question

設(shè)P為等邊△ABC外接圓的BC上的一點，求證：PA²=AB²+PB•PC．

Answer 1

【答案】分析：由已知我們分析待證結(jié)論中的邊對應(yīng)的線段，并將其歸結(jié)到相應(yīng)的三角形中，我們要證明結(jié)論，可以證明相應(yīng)的三角形相似，由已知條件我們不難證明，△ABP∽△ADB且△BPD∽△APC根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例，及已知中線段之間的等量關(guān)系，我們不難得到結(jié)論．
解答：證明：在△ABP和△ADB中，
∠BAP=∠DAB為公用角，
又∠APB=∠ACB=∠ABD=60°
△ABP∽△ADB，
AB²=PA•AD（1）
同理可證△BPD∽△APC，，
∴PB•PC=PA•PD（2）
（1）、（2）式左、右兩邊分別相加，則得
AB²+PB•PC=PA（AD+PD）=PA²，
∴PA²=AB²+PB•PC．
點評：證明一個復(fù)雜的積等式，關(guān)鍵是要分析積等式中的線段所在的三角形，將線段歸結(jié)到相應(yīng)三角形后，我們可以證明對應(yīng)的三角形相似，再利用相似三角形性質(zhì)，即對應(yīng)邊成比例，給出線段之間的關(guān)系，從而證明出結(jié)論．