Question

已知曲線C上任意一點M到點F（0，1）的距離比它到直線l：y=-2的距離小1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點P（2，2）的直線與曲線C交于A、B兩點，設(shè)．當△AOB的面積為時（O為坐標原點），求λ的值．

Answer 1

解：（1）∵點M到點F（1，0）的距離比它到直線l：y=-2的距離小于1，
∴點M在直線l的上方，點M到F（1，0）的距離與它到直線l′：y=-1的距離相等，
∴點M的軌跡C是以F為焦點，l′為準線的拋物線，
所以曲線C的方程為x²=4y．
（2）當直線m的斜率不存在時，它與曲線C只有一個交點，不合題意，
設(shè)直線m的方程為y-2=k（x-2），即y=kx+（2-2k），
代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，（*）
△=16（k²-2k+2）＞0對k∈R恒成立，
所以，直線m與曲線C恒有兩個不同的交點，
設(shè)交點A，B的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=4k，x₁x₂=8（k-1），
∵|AB|=
=
=4，
點O到直線m的距離，
∴
=4|k-1|•
=4，
∵，∴4=4，
∴（k-1）⁴+（k-1）²-2=0，
∴（k-1）²=1，或（k-1）²=-2（舍去），∴k=0，或k=2．
當k=0時，方程（*）的解為，
若，，則，
若，則，
當k=2時，方程（*）的解為4，
若，，則，
若，，則=3-2，
所以，，或．
分析：（1）由題設(shè)知：點M的軌跡C是以F為焦點，l′為準線的拋物線，由此能求出曲線C的方程．
（2）設(shè)直線m的方程為y=kx+（2-2k），代入x²=4y，得x²-4kx+8（k-1）=0，由△=16（k²-2k+2）＞0對k∈R恒成立，知直線m與曲線C恒有兩個不同的交點，再由韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式，利用、△AOB的面積為，能求出λ的值．
點評：本題考查曲線方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法．解題時要認真審題，注意拋物線的簡單性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、韋達定理、弦長公式、點到直線的距離公式等知識點的靈活運用．