Question

10．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（2+x）=f（2-x），當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=${（\frac{{\sqrt{2}}}{2}）^x}$-1，若在區(qū)間（-2，6）內(nèi)，函數(shù)y=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）恰有1個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． （1，4]
• B． （1，2）∪（4，+∞）
• C． （4，+∞）
• D． （1，4）

Answer 1

分析 根據(jù)f（2+x）=f（2-x）得出x=2是f（x）的對稱軸，再根據(jù)函數(shù)y=f（x）是偶函數(shù)得出f（x）的周期為4，結(jié)合x∈[-2，0]時f（x）的解析式得出區(qū)間（-2，6）內(nèi)函數(shù)y=f（x）的圖象，由函數(shù)恰有1個零點，得出函數(shù)y=f（x）和y=log_a（x+2）在x∈[-2，6]內(nèi)的圖象有唯一交點，由此求出a的取值范圍．

解答 解：∵f（2+x）=f（2-x），
∴x=2是f（x）的對稱軸，
又函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴x=0是函數(shù)f（x）的對稱軸，
∴函數(shù)y=f（x）的周期為4；
又當(dāng)x∈[-2，0]時，f（x）=${（\frac{\sqrt{2}}{2}）}^{x}$-1，
∴0≤f（x）≤1；

又在區(qū)間（-2，6）內(nèi)，函數(shù)y=f（x）-log_a（x+2）（a＞1）恰有1個零點，
作出函數(shù)y=f（x）和y=log_a（x+2）在x∈[-2，6]內(nèi)的圖象，如圖所示；
由log_a（2+2）=1，解得a=4，
故實數(shù)a的取值范圍是1＜a＜4．
故選：D．

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用問題，也考查了函數(shù)零點和數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用問題，是綜合性題目．