精英家教網(wǎng)將楊輝三角中的每一個數(shù)Cnr都換成
1
(n+1)
C
r
n
，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出
1
(n+1)
C
r
n
+
1
(n+1)
C
x
n
=
1
n
C
r
n-1
，其中x=r+1，令an=
1
3
+
1
12
+
1
30
+
1
60
+…+
1
n
C
2
n-1
+
1
(n+1)
C
2
n
，則
lim
n→∞
an=
 
分析：通過觀察可得
1
(n+1)•
C
2
n
=
2
n•(n+1)•(n-1)
=
1
n
(
1
n-1
-
1
n+1
)=〔（1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
）-（
1
2
+
1
3
+…+
1
n
）〕+〔（
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+…+
1
n+1
）-（
1
2
+
1
3
+…+
1
n
）〕=1-
1
n
+
1
n+1
-
1
2
=
1
2
+
1
n+1
-
1
n
．進而可得
lim
n→∞
an．
解答：解：第一個空通過觀察可得．
1
(n+1)•
C
2
n
=
2
n•(n+1)•(n-1)
=
1
n
(
1
n-1
-
1
n+1
)
=
1
n
×
1
n-1
-
1
n
×
1
n+1
=
1
n-1
-
1
n
-
1
n
+
1
n+1
=
1
n-1
+
1
n+1
-
2
n
an=
1
3
+
1
12
+
1
30
+
1
60
++
1
n
C
2
n-1
+
1
(n+1)
C
2
n

=（1+
1
3
-1）+（
1
2
+
1
4
-
2
3
）+（
1
3
+
1
5
-
2
4
）+（
1
4
+
1
6
-
2
5
）+…+（
1
n-2
+
1
n
-
1
n-1
）+（
1
n-1
+
1
n+1
-
2
n
）
=（1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
）+（
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+…+
1
n+1
）-2（
1
2
+
1
3
+…+
1
n
）
=〔（1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n-1
）-（
1
2
+
1
3
+…+
1
n
）〕+〔（
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
+…+
1
n+1
）
-（
1
2
+
1
3
+…+
1
n
）〕
=1-
1
n
+
1
n+1
-
1
2

=
1
2
+
1
n+1
-
1
n

所以
lim
n→∞
an=
1
2
．
答案：
1
2
．
點評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應用，解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（06年湖北卷理）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中        。

令，則        。

    

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（06年湖北卷理）將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中        。

令，則        。

    

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

15．將楊輝三角中的每一個數(shù)都換成分數(shù)，就得到一個如圖所示的分數(shù)三角形，稱為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出

，其中x=______________.

令，則

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科目：高中數(shù)學 來源：2006年湖北省高考數(shù)學試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

將楊輝三角中的每一個數(shù)Cnr都換成，就得到一個如下圖所示的分數(shù)三角形，成為萊布尼茨三角形，從萊布尼茨三角形可看出，其中x=r+1，令，則=   

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