Question

解不等式：x（2x²-2ax+1）＞0（a∈R）

Answer 1

考點：其他不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：根據(jù)不等式的關(guān)系，先討論x，然后在討論a的取值即可得到結(jié)論．

解答： 解：x≠0，否則不等式不成立，
①若x＞0，則不等式等價為2x²-2ax+1＞0，
判別式△=4a²-8，
若△=4a²-8＜0，即-

2

＜a＜

2

，則不等式2x²-2ax+1＞0恒成立，此時不等式的解為x＞0．
若△=4a²-8=0，即a=-

2

或a=

2

，則不等式2x²-2ax+1＞0等價為x≠

a

2

，
若a=-

2

，不等式的解為x＞0．
若a=

2

，不等式的解為x＞0且x≠

2

2

，
若△=4a²-8＞0，即a＜-

2

或a＞

2

，則不等式2x²-2ax+1＞0等價為x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

，
當(dāng)a＞

2

時，原不等式的解集為0＜x＜

a- a2-2

2

或x＞

a+ a2-2

2

，
若a＜-

2

時，原不等式的解集為x＞0，
②若x＜0，則不等式等價為2x²-2ax+1＜0，
判別式△=4a²-8，
若△=4a²-8＜0，即-

2

＜a＜

2

，則不等式2x²-2ax+1＜0不成立，此時不等式的解為∅．
若△=4a²-8=0，即a=-

2

或a=

2

，則不等式2x²-2ax+1＜0不成立，此時不等式的解為∅，
若△=4a²-8＞0，即a＜-

2

或a＞

2

，則不等式2x²-2ax+1＜0等價為

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

，
當(dāng)a＞

2

時，原不等式的解集為∅，
若a＜-

2

時，原不等式的解為

a- a2-2

2

＜x＜

a+ a2-2

2

．
綜上-

2

≤a＜

2

時，不等．式的解集為（0，+∞），
a=

2

，不等式的解集為{x|x＞0且x≠

2

2

}，
a＞

2

時，原不等式的解集為（0，

a- a2-2

2

）∪（

a+ a2-2

2

，+∞），
a＜-

2

時，原不等式的解集為（0，+∞）∪（

a- a2-2

2

，

a+ a2-2

2

）．

點評：本題主要考查不等式的求解，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，運算量較大．