Question

在△OAB中，
（1）若C為直線AB上一點(diǎn)，且

AC

=λ

CB

(λ≠-1)，求證：

OC

=

OA +λ OB

1+λ

；
（2）若

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=a，且C為線段AB上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，求

OC

•

AB

的值；
（3）若|

OA

|=1，|

OB

|=

3

，且P₁，P₂，P₃，…，P_n-1為線段AB的n（n≥2）個(gè)等分點(diǎn)，求

OP1

•

AB

+

OP2

•

AB

+…+

OPn-1

•

AB

的值．

Answer 1

分析：（1）由

AC

=λ

CB

，得

OC

-

OA

=λ(

OB

-

OC

)．然后求出

OC

即可證明結(jié)論．
（2）利用（1）化簡(jiǎn)

OC

•

AB

，結(jié)合

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=a，求出λ，推出

OC

•

AB

的值．
（3）利用（1）的結(jié)論，化簡(jiǎn)

OP1

•

AB

+

OP2

•

AB

+…+

OPn-1

•

AB

為

n-1

2

(

OB

-

OA

)(

OB

+

OA

)，求出它的值．

解答：解：（1）由

AC

=λ

CB

，得

OC

-

OA

=λ(

OB

-

OC

)．
即(1+λ)

OC

=

OA

+λ

OB

，因?yàn)棣恕?1，所以

OC

=

OA +λ OB

1+λ

．（4分）
（2）

OC

•

AB

=

OA +λ OB

1+λ

(

OB

-

OA

)=

1-λ

1+λ

OA

•

OB

+

λ

1+λ

OB

2-

1

1+λ

OA

2（6分）
因?yàn)?span id="1161161" class="MathJye">

OA

•

OB

=0，|

OA

|=|

OB

|=a，所以

OC

•

AB

=

λ-1

λ+1

a2．
由于C為線段AB上靠近A的一個(gè)三等分點(diǎn)，故λ=

1

2

所以

OC

•

AB

=-

1

3

a2（8分）
（3）

OP1

•

AB

+

OP2

•

AB

+…+

OPn-1

•

AB

=

AB

(

OP1

+

OP2

+…+

OPn-1

)
=

AB

(

OA + 1 n-1 OB

1+ 1 n-1

+

OA + 2 n-2 OB

1+ 2 n-2

+…+

OA + n-1 n-(n-1) OB

1+ n-1 n-(n-1)

)（10分）
=

AB

[(

n-1

n

+

n-2

n

+…+

1

n

)

OA

+(

1

n

+

2

n

+

n-1

n

)

OB

]
=

n-1

2

(

OB

-

OA

)(

OB

+

OA

)=

n-1

2

(

OB

2-

OA

2)=n-1（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查計(jì)算能力，是中檔題．