Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₃=1，S₉=45．數(shù)列{b_n}滿足b_n=

an

3n

．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式a_n；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求證：-

10

9

≤T_n≤-1．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，由出首項和公差，從而得出通項公式；
（2）數(shù)列{b_n}是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的積的形式，采用錯位相減去求出前n項和，再判斷它的單調(diào)性，從而求出T_n的取值范圍．

解答： 解：（I）由題知：

S9= 9(a1+a9) 2 =9a5=45 a3=1

，∴

a5=5 a3=1

，故等差數(shù)列的公差d=2，a₁=-3，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=2n-5．
（II）∵bn=

an

3n

，∴

Tn= a1 3 + a2 32 +…+ an-1 3n-1 + an 3n 1 3 Tn= a1 32 ++…+ an-1 3n + an 3n+1

兩式相減即得

2Tn

3

=

a1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

an

3n+1

=

a1

3

+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

an

3n+1

=-

2

3

-

2n-2

3n+1

，
從而Tn=-1-

n-1

3n

．
又∵Tn+1-Tn=(-1-

n+1-1

3n+1

)-(-1-

n-1

3n

)=-

n

3n+1

+

n-1

3n

=

-n+3n-3

3n+1

=

2n-3

3n+1

故當n≥2時T_n+1＞T_n，從而T₁＞T₂，T₂＜T₃，T₃＜T₄，…，
∴T₂≤T_n≤-1，即-

10

9

≤Tn≤-1．

點評：本題考查了等差數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，利用錯位相減法求數(shù)列的和，并根據(jù)其單調(diào)性求取值范圍．屬于常規(guī)計算題．中檔難度．