Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，點(diǎn)（n，

Sn

n

），n∈N^*在直線y=x-13上．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）指出n取何值時(shí)S_n取得最小值，并求出S_n的最小值；
（3）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=（

1

2

） an+13，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）先求出S_n，然后利用當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1代入求解，最后驗(yàn)證首項(xiàng)即可；
（2）由a_n=2n-14≤0，可得n≤7，即可指出n取何值時(shí)S_n取得最小值，并求出S_n的最小值；
（3）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，可得數(shù)列{b_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式，即可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)（n，

Sn

n

），n∈N^*在直線y=x-13，
∴

Sn

n

=n-13，S_n=n²-13n．
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（n²-13n）-[（n-1）²-12（n-1）]=2n-14；
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=-12，符合題意．
所以a_n=2n-14（n∈N^*）．
（2）a_n=2n-14≤0，∴n≤7，
∴n取6或7時(shí)S_n取得最小值，S_n的最小值為

6(-12-2)

2

=-42；
（3）b_n=（

1

2

） an+13=(

1

2

)2n-1，
∴

bn+1

bn

=

1

4

，b₁=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}是以

1

2

為首項(xiàng)，

1

4

為公比的等比數(shù)列，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n=

1 2 (1- 1 4n )

1- 1 4

=

2

3

（1-

1

4n

）．

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的求和公式，同時(shí)考查了學(xué)生的計(jì)算能力、分析解決問題的能力，屬于中檔題．