Question

已知(x+

1

2 x

)n的展開(kāi)式中前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）求展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（I）利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求出展開(kāi)式前三項(xiàng)的系數(shù)，列出方程求出n．
（II）設(shè)出系數(shù)最大的項(xiàng)，據(jù)最大的系數(shù)大于等于它前一項(xiàng)的系數(shù)同時(shí)大于等于它后一項(xiàng)的系數(shù)，列出不等式組求出r，求出系數(shù)最大的項(xiàng)．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)，得

C

0 n

+

1

4

×

C

2 n

=2×

1

2

×

C

1 n

，
即n²-9n+8=0，解得n=8，n=1（舍去）．
（Ⅱ）設(shè)第r+1的系數(shù)最大，則

1 2r C r 8 ≥ 1 2r+1 C r+1 8 1 2r C r 8 ≥ 1 2r-1 C r-1 8 .

即

1 8-r ≥ 1 2(r+1) 1 2r ≥ 1 9-1 .

解得r=2或r=3．
所以系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)₃=7x⁵，T4=7x

7

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式解決二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)問(wèn)題；考查二項(xiàng)展開(kāi)式中系數(shù)最大項(xiàng)的求法．