Question

14．在△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，且acosB+bcosA=2，則△ABC的面積的最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 所求的式子cosC利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡后，將已知的cos$\frac{C}{2}$的值代入即可求出cosC值，利用余弦定理分別表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化簡后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c²=a²+b²-2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范圍，利用同角三角函數(shù)間的基本關系求出sinC的值，利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面積的最大值．

解答 （本題滿分為14分）
解：∵cos$\frac{C}{2}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴cosC=2cos²$\frac{C}{2}$-1=2（$\frac{\sqrt{5}}{3}$）2-1=$\frac{1}{9}$；…（7分）
∵acosB+bcosA=2，
∴a×$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$+b×$\frac{{c}^{2}+^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=2，
∴c=2，…（9分）
∴4=a2+b2-2ab×$\frac{1}{9}$≥2ab-2ab×$\frac{1}{9}$=$\frac{16}{9}$ab，
∴ab≤$\frac{9}{4}$（當且僅當a=b=$\frac{3}{2}$時等號成立）…（12分）
由cosC=$\frac{1}{9}$，得sinC=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$…（13分）
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$×$\frac{9}{4}$×$\frac{4\sqrt{5}}{9}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
故△ABC的面積最大值為$\frac{\sqrt{5}}{2}$…（14分）

點評 此題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，基本不等式，余弦定理及三角形的面積公式．熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．