Question

14．在復(fù)平面上，已知正方形OABC（按逆時(shí)針?lè)较�，O表示原點(diǎn)）中的一個(gè)頂點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i，則$\overrightarrow{BC}$所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．

Answer 1

分析 由B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)求出B的坐標(biāo)，得到OB中點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出C（x，y），求得$\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）$，結(jié)合$\overrightarrow{MC}⊥\overrightarrow{MB}$及|$\overrightarrow{MC}$|列方程組求得C的坐標(biāo)，進(jìn)一步得到$\overrightarrow{BC}$的坐標(biāo)得答案．

解答 解：如圖，
∵B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+2i，
∴OB中點(diǎn)為M（$\frac{1}{2}，1$）
設(shè)C（x，y），則$\overrightarrow{MB}$=（$\frac{1}{2}，1$），
$\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）$，
由$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{MC}=（x-\frac{1}{2}，y-1）•（\frac{1}{2}，1）=0$，
得2x+4y-5=0，①
又$|\overrightarrow{MC}|=\sqrt{（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，
得$（x-\frac{1}{2}）^{2}+（y-1）^{2}=\frac{5}{4}$，②
聯(lián)立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}}\\{y=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{2}}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
由圖結(jié)合已知可得，C的坐標(biāo)為（$-\frac{1}{2}，\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{BC}=（-\frac{3}{2}，-\frac{1}{2}）$，
∴$\overrightarrow{BC}$所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z=$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．
故答案為：$-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．