已知數(shù)學公式的圖象在點(1,f(1)處的切線與直線y=3x+1平行.
(1)求a與b滿足的關系式;
(2)若a>0且f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍.

解:(1)f′(x)=a-,
由于的圖象在點(1,f(1)處的切線與直線y=3x+1平行,
則有f′(1)=a-b=3,即b=a-3,
此時,f(1)=a+a-3+3-2a=0≠4,
(2)由f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立,得
ax++3-2a-3lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,
令g(x)=ax++3-2a-3lnx,x∈[1,+∞)
則g(l)=0,g′(x)=a--=
(i)當a>,≤l
則g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以g(x)≥g(l)=0,f(x)>3lnx,故f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立.
(ii)a=時,g′(x)≥0,g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以g(x)≥g(l)=0,f(x)>3lnx,故f(x)≥3lnx在[1,+∞)上恒成立.
(iii)當0<a<>l,
則x∈(1,)時,g′(x)<0,g(x)在[1,+∞)上是減函數(shù),
x∈(,+∞)時,g′(x)>0,g(x)在[1,+∞)上是增函數(shù),
所以存在x0∈(1,),使得g(x0)<g(l)=0,即存在x0∈(1,),使得f(x0)>3lnx0不成立,
綜上所述,所求a的取值范圍為[,+∞).
分析:(1)根據(jù)f(x)在點(1,f(1)處的切線與直線y=3x+1平行建立等式關系:f'(1)=3,即可求出a與b的關系式;
(2)先構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-3lnx=ax++3-2a-3lnx,x∈[1,+∞),利用導數(shù)研究g(x)的最小值,討論a的范圍,分別進行求解即可求出a的取值范圍.
點評:本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,以及函數(shù)恒成立問題等基礎題知識,考查運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,分類討論思想,屬于中檔題.
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