已知一列非零向
an
滿足:
a1
=(x1y1),
an
=(xnyn)=
1
2
(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2)

(Ⅰ)證明:{|
an
|}
是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求向量
a
n-1
a
n
的夾角(n≥2)

(Ⅲ)設(shè)
a
1
=(1,2),把
a1
a2
,…,
an
,…中所有與
a1
共線的向量按原來的順序排成
一列,記為
b1
,
b2
,…,
.
bn
,…,令
OB
n
=
b1
+
b2
+…+
bn
,0
為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)列{Bn}的極限點(diǎn)B的坐標(biāo).
(注:若點(diǎn)Bn坐標(biāo)為(tnsn),且
lim
n→∞
tn=t,
lim
n→∞
sn=s,則稱點(diǎn)B(t,s)為點(diǎn)列{Bn}
的極限點(diǎn).)
分析:(I)由于|
an
|=
1
2
(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2
得出
|
an
|
|
a
n-1
|
=
2
2
為常數(shù),從而證得{|
an
|}
是等比數(shù)列.
(II)利用向量的數(shù)量積得出
a
n-1
a
n
=(xn-1yn-1)•
1
2
(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)
從而有:cos<
a
n-1
,
a
n
>=
a
n-1
a
n
|
a
n-1
||
a
n
|
=
1
2
|
a
n-1
|2
|
a
n-1
|•
2
2
|
a
n-1
|
=
2
2
,即可求得
a
n-1
a
n
的夾角;
(III)先利用數(shù)學(xué)歸納法易證
b
n
=
a
4n-3
成立從而得出:
b
n
=(-
1
4
)n-1(x1y1)
.結(jié)合等比數(shù)列的求得公式及數(shù)列的極限即可求得點(diǎn)列{Bn}的極限點(diǎn)B的坐標(biāo).
解答:解:(I)|
an
|=
1
2
(xn-1-yn-1)2+(xn-1+yn-1)2

=
2
2
x
2
n-1
+
y
2
n-1
=
2
2
|
a
n-1
|,(n≥2)
,首項(xiàng)|
a1
|=
x
2
1
+
y
2
1
≠0,
|
an
|
|
a
n-1
|
=
2
2
為常數(shù),∴{|
an
|}
是等比數(shù)列.
(II)
a
n-1
a
n
=(xn-1,yn-1)•
1
2
(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)
=
1
2
(
x
2
n-1
+
y
2
n-1
)=
1
2
|
a
n-1
|2
,cos<
a
n-1
,
a
n
>=
a
n-1
a
n
|
a
n-1
||
a
n
|
=
1
2
|
a
n-1
|2
|
a
n-1
|•
2
2
|
a
n-1
|
=
2
2
,∴
a
n-1
a
n
的夾角為
π
4

(III)
a1
=(x1,y1),
a2
=
1
2
(x1-y1x1+y1)
,
a3
=
1
4
(-2y1,2x1)=
1
2
(-y1,x1),
a4
=
1
4
(-y1-x1,-y1+x1)
a5
=
1
8
(-2x1,-2y1)=-
1
4
(x1y1)
,∴
a1
a5
a9
一般地,
b1
=
a1
b2
=
a5
,,
bn
=
a
4n-3

用數(shù)學(xué)歸納法易證
b
n
=
a
4n-3
成立∴
b
n
=(-
1
4
)n-1(x1y1)

設(shè)
OBn
=(tn,sn)則tn=[1+(-
1
4
)+(-
1
4
)
2
+…+(-
1
4
)
n-1
]x1
=
1-(-
1
4
)
n
1-(-
1
4
)
=
4
5
[1-(-
1
4
)n],
lim
n→∞
tn=
4
5
;
sn=[1+(-
1
4
)+(-
1
4
)
2
+…+(-
1
4
)
n-1
]y1
=
1-(-
1
4
)
n
1-(-
1
4
)
•2=
8
5
[1-(-
1
4
)n],
lim
n→∞
sn=
8
5
,
∴極限點(diǎn)B的坐標(biāo)為(
4
5
,
8
5
)
點(diǎn)評:本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)、數(shù)列的極限、向量的運(yùn)算等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一列非零向量
an
,n∈N*,滿足:
a1
=(10,-5),
an
=(xn,yn)=k(xn-1-yn-1xn-1+yn-1)
,(n32 ).,其中k是非零常數(shù).
(1)求數(shù)列{|
an
|}是的通項(xiàng)公式;
(2)求向量
an-1
an
的夾角;(n≥2);
(3)當(dāng)k=
1
2
時(shí),把
a1
a2
,…,
an
,…中所有與
a1
共線的向量按原來的順序排成一列,記為
b1
,
b2
,…,
bn
,…,令
OBn
=
b1
+
b2
+…+
bn
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)列{Bn}的極限點(diǎn)B的坐標(biāo).(注:若點(diǎn)坐標(biāo)為(tn,sn),且
lim
n→∞
tn=t
,
lim
n→∞
sn=s
,則稱點(diǎn)B(t,s)為點(diǎn)列的極限點(diǎn).)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:濰坊模擬 題型:解答題

已知一列非零向
an
滿足:
a1
=(x1,y1),
an
=(xn,yn)=
1
2
(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2)

(Ⅰ)證明:{|
an
|}
是等比數(shù)列;
(Ⅱ)求向量
a
n-1
a
n
的夾角(n≥2)

(Ⅲ)設(shè)
a
1
=(1,2),把
a1
,
a2
,…,
an
,…中所有與
a1
共線的向量按原來的順序排成
一列,記為
b1
,
b2
,…,
.
bn
,…,令
OB
n
=
b1
+
b2
+…+
bn
,0
為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)列{Bn}的極限點(diǎn)B的坐標(biāo).
(注:若點(diǎn)Bn坐標(biāo)為(tnsn),且
lim
n→∞
tn=t,
lim
n→∞
sn=s,則稱點(diǎn)B(t,s)為點(diǎn)列{Bn}
的極限點(diǎn).)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:杭州一模 題型:解答題

已知一列非零向量
an
,n∈N*,滿足:
a1
=(10,-5),
an
=(xn,yn)=k(xn-1-yn-1xn-1+yn-1)
,(n32 ).,其中k是非零常數(shù).
(1)求數(shù)列{|
an
|}是的通項(xiàng)公式;
(2)求向量
an-1
an
的夾角;(n≥2);
(3)當(dāng)k=
1
2
時(shí),把
a1
,
a2
,…,
an
,…中所有與
a1
共線的向量按原來的順序排成一列,記為
b1
,
b2
,…,
bn
,…,令
OBn
=
b1
+
b2
+…+
bn
,O為坐標(biāo)原點(diǎn),求點(diǎn)列{Bn}的極限點(diǎn)B的坐標(biāo).(注:若點(diǎn)坐標(biāo)為(tn,sn),且
lim
n→∞
tn=t
,
lim
n→∞
sn=s
,則稱點(diǎn)B(t,s)為點(diǎn)列的極限點(diǎn).)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知一列非零向量an滿足:a1=(x1,y1),an=(xn,yn)=(xn-1-yn-1,xn-1+yn-1)(n≥2).

(1)證明{|an|}是等比數(shù)列;

(2)設(shè)θn=〈an-1,an〉,bn=2nθn-1,Sn=b1+b2+b3+…+bn,求Sn.

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同步練習(xí)冊答案