已知橢圓C的中心為原點O,點F(1,0)是它的一個焦點,直線l過點F與橢圓C交于A,B兩點,當(dāng)直線l垂直于x軸時,
OA
OB
=
1
2

(I)求橢圓C的方程;
(II)已知點P為橢圓的上頂點,且存在實數(shù)t使
PA
+
PB
=t
PF
成立,求實數(shù)t的值和直線l的方程.
分析:(I)設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),則a2-b2=1,當(dāng)l垂直于x軸時,A,B兩點的坐標(biāo)分別是(1,
b2
a
)和(1,-
b2
a
),由
OA
OB
=(1,
b2
a
)•(1,-
b2
a
)=1-
b4
a2
,知a2=2b4,由此能求出橢圓C的方程.
(II)當(dāng)直線斜率不存在時,A(1,
2
2
),B(1,-
2
2
),P(0,1),
PA
=(1,
2
2
-1),
PB
=(1,-
2
2
-1),
PF
=(1,-1),由t使
PA
+
PB
=t
PF
,得直線l的方程為x=1當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),A=(x1,y1),B=(x2,y2),
PA
=(x1,y1-1),
PB
=(x2,y2-1),
PF
=(1,-1),由t使
PA
+
PB
=t
PF
,得直線l的方程為y=-x+1.由此能求出結(jié)果.
解答:解:(I)設(shè)橢圓C的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
則a2-b2=1,①
∵當(dāng)l垂直于x軸時,A,B兩點的坐標(biāo)分別是(1,
b2
a
)和(1,-
b2
a
),
OA
OB
=(1,
b2
a
)•(1,-
b2
a
)=1-
b4
a2
,
則1-
b4
a2
=
1
2
,即a2=2b4.②
由①,②消去a,得2b4-b2-1=0.∴b2=1或b2=-
1
2

當(dāng)b2=1時,a2=2.因此,橢圓C的方程為
x2
2
+y2=1

(II)當(dāng)直線斜率不存在時,A(1,
2
2
),B(1,-
2
2
),P(0,1),
所以
PA
=(1,
2
2
-1),
PB
=(1,-
2
2
-1),
PF
=(1,-1),
由t使
PA
+
PB
=t
PF
,得t=2,直線l的方程為x=1
當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),A=(x1,y1),B=(x2,y2),
所以,
PA
=(x1,y1-1),
PB
=(x2,y2-1),
PF
=(1,-1),
由t使
PA
+
PB
=t
PF
,得
x1+x2=t
y1-1+y2-1=-t
,即
x1+x2=t
y1+y2=2-t
,
因為y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
所以,y1+y2=k(x1+x2-2),解得:k=-1
此時,直線l的方程為y=-x+1,
聯(lián)立
x2
2
+y2=1
y=-x+1
,得3x2-4x=0,t=x1+x2=
4
3

∴當(dāng)直線斜率存在時,t=
4
3
,直線l的方程為y=-x+1,
綜上所述,存在實數(shù)t,且t=2時,直線方程x=1,
當(dāng)t=1時,直線l的方程為y=-x+1.
點評:本題考查橢圓方程的求法,考查直線方程的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用.
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(2013•深圳一模)已知橢圓C 的中心為原點O,焦點在x 軸上,離心率為
3
2
,且點(1,
3
2
)
在該橢圓上.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,橢圓C 的長軸為AB,設(shè) P 是橢圓上異于 A、B 的任意一點,PH⊥x軸,H為垂足,點Q 滿足
PQ
=
HP
,直線AQ與過點B 且垂直于x 軸的直線交于點M,
BM
=4
BN
.求證:∠OQN為銳角.

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2
2

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(I)求橢圓C的方程;
(II)已知點P為橢圓的上頂點,且存在實數(shù)t使成立,求實數(shù)t的值和直線l的方程.

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