Question

如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，D，E分別為AC，AB的中點，點F為線段CD上的一點，將△ADE沿DE折起到△A₁DE的位置，使A₁F⊥CD，如圖2．
（1）求證：DE∥平面A₁CB；
（2）求證：A₁F⊥BE；
（3）線段A₁B上是否存在點Q，使A₁C⊥平面DEQ？說明理由．

Answer 1

解：（1）∵D，E分別為AC，AB的中點，
∴DE∥BC，又DE?平面A₁CB，
∴DE∥平面A₁CB，
（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，
∴DE⊥AC，
∴DE⊥A₁D，又DE⊥CD，
∴DE⊥平面A₁DC，而A₁F?平面A₁DC，
∴DE⊥A₁F，又A₁F⊥CD，
∴A₁F⊥平面BCDE，
∴A₁F⊥BE．
（3）線段A₁B上存在點Q，使A₁C⊥平面DEQ．理由如下：如圖，分別取A₁C，A₁B的中點P，Q，則PQ∥BC．
∵DE∥BC，
∴DE∥PQ．
∴平面DEQ即為平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A₁DC，
∴DE⊥A₁C，
又∵P是等腰三角形DA₁C底邊A₁C的中點，
∴A₁C⊥DP，
∴A₁C⊥平面DEP，從而A₁C⊥平面DEQ，
故線段A₁B上存在點Q，使A₁C⊥平面DEQ
分析：（1）D，E分別為AC，AB的中點，易證DE∥平面A₁CB；
（2）由題意可證DE⊥平面A₁DC，從而有DE⊥A₁F，又A₁F⊥CD，可證A₁F⊥平面BCDE，問題解決；
（3）取A₁C，A₁B的中點P，Q，則PQ∥BC，平面DEQ即為平面DEP，由DE⊥平面，P是等腰三角形DA₁C底邊A₁C的中點，可證A₁C⊥平面DEP，從而A₁C⊥平面DEQ．
點評：本題考查直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定與性質，考查學生的分析推理證明與邏輯思維能力，綜合性強，屬于難題．